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  3. 证明消费者最优决策的对偶性。(2 009年南开大学经济学基础)

证明消费者最优决策的对偶性。(2 009年南开大学经济学基础)

admin2019-09-09  90
问题 证明消费者最优决策的对偶性。(2 009年南开大学经济学基础)
选项
答案消费者的最优决策可以用对偶性从两个角度来阐释。 (1)商品X和y的最优选择可以分析成最小预算开支的问题，即选择与既定的无差异曲线相切的最低预算线，获得既定效用水平下的支出最小化。 要使获得某个效用水平的支出最小化，用数学语言表示为 [*]{PXX+PYY) s．t．U(X，y)=U* 对应的拉格朗日函数由下式给出 L=PXX+PYY－λ[U(X，Y)－U*]式中，λ是拉格朗日乘数。再就X和y求．L的微分，并令导数等于零，得到支出最小化的必要条件为 [*] 通过整理可得 [*] 所以，支出最小化选择的X和Y必定位于预算线与产生效用U*的无差异曲线的切点上。 (2)商品X和Y的最优选择也可以分析成效用水平最大值的问题，即选择与预算线相切的最高无差异曲线，获得既定预算约束下的效用水平最大化。 既定预算约束下的效用水平最大化，用数学语言表示为 [*] s．t．PXX+PYY－I=0 对应的拉格朗日函数由下式给出 L=U(X，Y)－λ(PXX+PYY－I) 式中，λ是拉格朗日乘数。再就X和Y求L的微分，并令导数等于零，得到效用最大化的必要条件为 [*] 通过整理可得 [*] (3)通过对比(1)和(2)可以看出，支出最小化：选择的点与效用最大化选择的点相同，所以对偶的支出最小化问题产生的需求函数与直接的效用最大化问题所得出的需求函数相同。
解析
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