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设分(x)在[a,b]上连续,在(a,b)上可导,且f(a)=f(b)=1,证明:必存在ξ,η∈(a,b)使得eη—ξ[f(η)+f’(η)]=1。
设分(x)在[a,b]上连续,在(a,b)上可导,且f(a)=f(b)=1,证明:必存在ξ,η∈(a,b)使得eη—ξ[f(η)+f’(η)]=1。
admin
2017-01-21
57
问题
设分(x)在[a,b]上连续,在(a,b)上可导,且f(a)=f(b)=1,证明:必存在ξ,η∈(a,b)使得e
η—ξ
[f(η)+f’(η)]=1。
选项
答案
设F(x)=e
x
f(x),由已知f(x)及e
x
在[a,b]上连续,在(a,b)内可导,均满足拉格朗日中值定理条件,因此,存在ξ,η∈(a,b),使得F(b)—F(a)=e
b
f(b)—e
a
f(A)=F’(η)(b—a) =e
η
[f’(η)+f(η)](b—a)及e
b
—e
a
=e
ξ
(b—a)。将以上两式相比,且由f(a)=f(b)=1,则有e
η—ξ
[f(η)+f’(η)]=1。
解析
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考研数学三
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