讨论曲线y=4lnx+k与y=4x+ln4x的交点个数。

admin2018-01-30 60

问题讨论曲线y=4lnx+k与y=4x+ln⁴x的交点个数。

选项

答案曲线y=4lnx+k与y=4x+ln⁴x的交点个数等价于方程 φ(x)=ln⁴x一4lnx+4x一k 在区间(0，+∞)内的零点个数。对以上方程两端求导得 φ^’(x)=[*](ln³x一1+x)，可知x=1是φ(x)的驻点。当0＜x＜1时，ln³x＜0，则ln³x一1+x＜0，而[*]＞0，因此φ^’(x)＜0，即φ(x)单调减少；当x＞1时，ln³x＞0，则ln³x一1+x＞0，且[*]＞0，因此φ^’(x)＞0，即φ(x)单调增加。故φ(1)=4一k为函数φ(x)的唯一极小值，即最小值。 ①当φ(1)=4一k＞0，即当k＜4时，φ(x)≥φ(1)＞0，φ(x)无零点，两曲线没有交点； ②当φ(1)=4一k=0，即当k=4时，φ(x)≥φ(1)=0，φ(x)有且仅有一个零点，即两曲线仅有一个交点； ③当φ(1)=4一k＜0，即当k＞4时，由于 [*] 由连续函数的介值定理，在区间(0，1)与(1，+∞)内各至少有一个零点，又因φ(x)在区间(0，1)与(1，+∞)内分别是严格单调的，故φ(x)分别各至多有一个零点。因此，当k＞4时，φ(x)有两个零点。综上所述，当k＜4时，两曲线没有交点；当k=4时，两曲线仅有一个交点；当k＞4时，两曲线有两个交点。

解析

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考研数学二

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