应用詹森不等式证明 (1)设ai＞0(i=1，2，…，n)，有 (2)设ai，bi＞0(i=1，2，…，n)有

admin2022-11-23 25

问题应用詹森不等式证明
(1)设a_i＞0(i=1，2，…，n)，有

(2)设a_i，b_i＞0(i=1，2，…，n)有

选项

答案(1)设f(x)=-Inx，则[*]．由f”(x)＞0可知f(x)=-lnx为区间(0，+∞)上的严格凸函数．由詹森不等式有 [*] 把这个不等式中的n个正数换成[*]，得到 [*] 于是原不等式得证． (2)设a＞0，b＞0，p＞1，q＞1，[*]，由(1)知-Inx为凸函数，令x=a^p，x₂=b^q，λ₁=1／p，λ₂=1／q．代入-ln(λ₁x₁+λ₂x₂)≤-λ₁lnx₁-λ₂lnx₂，得 [*] 对k=1，2，…，n时的不等式两端分别相加，得 [*]

解析

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