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应用詹森不等式证明 (1)设ai>0(i=1,2,…,n),有 (2)设ai,bi>0(i=1,2,…,n)有
应用詹森不等式证明 (1)设ai>0(i=1,2,…,n),有 (2)设ai,bi>0(i=1,2,…,n)有
admin
2022-11-23
35
问题
应用詹森不等式证明
(1)设a
i
>0(i=1,2,…,n),有
(2)设a
i
,b
i
>0(i=1,2,…,n)有
选项
答案
(1)设f(x)=-Inx,则[*].由f”(x)>0可知f(x)=-lnx为区间(0,+∞)上的严格凸函数.由詹森不等式有 [*] 把这个不等式中的n个正数换成[*],得到 [*] 于是原不等式得证. (2)设a>0,b>0,p>1,q>1,[*],由(1)知-Inx为凸函数,令x=a
p
,x
2
=b
q
,λ
1
=1/p,λ
2
=1/q.代入-ln(λ
1
x
1
+λ
2
x
2
)≤-λ
1
lnx
1
-λ
2
lnx
2
,得 [*] 对k=1,2,…,n时的不等式两端分别相加,得 [*]
解析
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考研数学三
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