已知4阶方阵A=(α1,α2,α3,α4)，其中α1,α2,α3,α4均为4维列向量，且α2,α3,α4线性无关，α1=2α2一α3．如果β=α1+α2+α3+α4，求线性方程组Ax=β的通解．

admin2019-03-21 87

问题已知4阶方阵A=(α₁,α₂,α₃,α₄)，其中α₁,α₂,α₃,α₄均为4维列向量，且α₂,α₃,α₄线性无关，α₁=2α₂一α₃．如果β=α₁+α₂+α₃+α₄，求线性方程组Ax=β的通解．

选项

答案由α₂,α₃,α₄线性无关和α₁=2α₂一α₃知矩阵A的秩为3，因此Ax=0的基础解系中只有一个解向量．由α₁一2α₂+α₃+0α₄=0得 [*] 即齐次线性方程组Ax=0的基础解系为[*] 再由[*] 知[*] 为非齐次线性方程组Ax=β的一个特解，于是Ax=β的通解为 [*]

解析本题考查抽象非齐次线性方程组的求解问题．所涉及的知识点是
(1)向量组线性相关性的判定．
向量组α₁,α₂……α_m线性相关

向量组中至少有一个向量能用其余的m—1个向量线性表示；若α₁,α₂……α_r线性相关，则α₁，…，α_r，α_r+1…，α_m仍线性相关．
(2)向量组极大无关组和秩概念．
r(A)=A的列秩=A的行秩．
(3)未知数的个数(n)一系数矩阵的秩r(A)=基础解系解向量的个数．
(4)非齐次线性方程组通解的结构．
若Ax=0的系数矩阵A的秩r(A)=r，则Ax=b通解x=k₁ξ₁+k₂ξ₂+…+k_n-rξ_n-r…+η^*．

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考研数学二

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已知4阶方阵A=(α1,α2,α3,α4)，其中α1,α2,α3,α4均为4维列向量，且α2,α3,α4线性无关，α1=2α2一α3．如果β=α1+α2+α3+α4，求线性方程组Ax=β的通解．

考研数学二

设f(x)在(a，+∞)内可导，求证：(Ⅰ)若x0∈(a，+∞)，f’(x)≥α＞0(x＞x0)，则=+∞；(Ⅱ)若=A＞0，则=+∞．

设y=f(x)可导，且y’≠0．(Ⅰ)若已知y=f(x)的反函数x=φ(y)可导，试由复合函数求导法则导出反函数求导公式；(Ⅱ)若又设y=f(x)二阶可导，则=________．

求下列极限：

计算下列反常积分(广义积分)的值：

求下列平面曲线的弧长：(Ⅰ)曲线9y2=x(x－3)2(y≥0)位于x=0到x=3之间的一段；(Ⅱ)曲线=1(a＞0，b＞0，a≠b)．

设函数f(x)在区间[a，b]上连续，且恒大于零，证明：

设曲线y=y(x)上点(x，y)处的切线垂直于此点与原点的连线，求曲线y=y(x)的方程．

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设线性方程组为(1)讨论a1，a2，a3，a4取值对解的情况的影响．(2)设a1=a3=k，a2=a4=－k(k≠0)，并且(－1，1，1)T和(1，1，－1)T都是解，求此方程组的通解．

设函数f(x)在[0，3]上连续，在(0，3)内存在二阶导数，且2f(0)=∫02f(x)dx=f(2)+f(3)。证明存在ξ∈(0，3)，使f’’(ξ)=0。

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