2. 考研
  3. 已知4阶方阵A=(α1,α2,α3,α4)，其中α1,α2,α3,α4均为4维列向量，且α2,α3,α4线性无关，α1=2α2一α3．如果β=α1+α2+α3+α4，求线性方程组Ax=β的通解．

已知4阶方阵A=(α1,α2,α3,α4)，其中α1,α2,α3,α4均为4维列向量，且α2,α3,α4线性无关，α1=2α2一α3．如果β=α1+α2+α3+α4，求线性方程组Ax=β的通解．

admin2019-03-21  63
问题 已知4阶方阵A=(α1,α2,α3,α4)，其中α1,α2,α3,α4均为4维列向量，且α2,α3,α4线性无关，α1=2α2一α3．如果β=α1+α2+α3+α4，求线性方程组Ax=β的通解．
选项
答案由α2,α3,α4线性无关和α1=2α2一α3知矩阵A的秩为3，因此Ax=0的基础解系中只有一个解向量． 由α1一2α2+α3+0α4=0得 [*] 即齐次线性方程组Ax=0的基础解系为[*] 再由[*] 知[*] 为非齐次线性方程组Ax=β的一个特解，于是Ax=β的通解为 [*]
解析 本题考查抽象非齐次线性方程组的求解问题．所涉及的知识点是
(1)向量组线性相关性的判定．
向量组α1,α2……αm线性相关
向量组中至少有一个向量能用其余的m—1个向量线性表示；若α1,α2……αr线性相关，则α1，…，αr，αr+1…，αm仍线性相关．
(2)向量组极大无关组和秩概念．
r(A)=A的列秩=A的行秩．
(3)未知数的个数(n)一系数矩阵的秩r(A)=基础解系解向量的个数．
(4)非齐次线性方程组通解的结构．
若Ax=0的系数矩阵A的秩r(A)=r，则Ax=b通解x=k1ξ1+k2ξ2+…+kn-rξn-r…+η*．
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考研数学二

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