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已知4阶方阵A=(α1,α2,α3,α4),其中α1,α2,α3,α4均为4维列向量,且α2,α3,α4线性无关,α1=2α2一α3.如果β=α1+α2+α3+α4,求线性方程组Ax=β的通解.
已知4阶方阵A=(α1,α2,α3,α4),其中α1,α2,α3,α4均为4维列向量,且α2,α3,α4线性无关,α1=2α2一α3.如果β=α1+α2+α3+α4,求线性方程组Ax=β的通解.
admin
2019-03-21
60
问题
已知4阶方阵A=(α
1
,α
2
,α
3
,α
4
),其中α
1
,α
2
,α
3
,α
4
均为4维列向量,且α
2
,α
3
,α
4
线性无关,α
1
=2α
2
一α
3
.如果β=α
1
+α
2
+α
3
+α
4
,求线性方程组Ax=β的通解.
选项
答案
由α
2
,α
3
,α
4
线性无关和α
1
=2α
2
一α
3
知矩阵A的秩为3,因此Ax=0的基础解系中只有一个解向量. 由α
1
一2α
2
+α
3
+0α
4
=0得 [*] 即齐次线性方程组Ax=0的基础解系为[*] 再由[*] 知[*] 为非齐次线性方程组Ax=β的一个特解,于是Ax=β的通解为 [*]
解析
本题考查抽象非齐次线性方程组的求解问题.所涉及的知识点是
(1)向量组线性相关性的判定.
向量组α
1
,α
2
……α
m
线性相关
向量组中至少有一个向量能用其余的m—1个向量线性表示;若α
1
,α
2
……α
r
线性相关,则α
1
,…,α
r
,α
r+1
…,α
m
仍线性相关.
(2)向量组极大无关组和秩概念.
r(A)=A的列秩=A的行秩.
(3)未知数的个数(n)一系数矩阵的秩r(A)=基础解系解向量的个数.
(4)非齐次线性方程组通解的结构.
若Ax=0的系数矩阵A的秩r(A)=r,则Ax=b通解x=k
1
ξ
1
+k
2
ξ
2
+…+k
n-r
ξ
n-r
…+η
*
.
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考研数学二
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