设A是n阶矩阵，A2=A， r(A)=r，证明A能对角化，并求A的相似标准形．

admin2016-10-20 73

问题设A是n阶矩阵，A²=A， r(A)=r，证明A能对角化，并求A的相似标准形．

选项

答案对A按列分块，记A=(α₁，α₂，…，α_n)．由r(A)=r，知A中有r个列向量线性无关，不妨设为α₁，α₂，…，α_n，因为A²=A，即 A(α₁，α₂，…，α_n)=(α₁，α₂，…，α_n)，所以 Aα₁=α₁=1.α_`， …， Aα_r=α_2r=1.α_r．那么λ=1是A的特征值，α₁，α₂，…，α_r是其线性无关的特征向量．对于齐次线性方程组Ax=0，其基础解系由n-r(A)=n-r个向量组成．因此，0是A的特征值，基础解系是λ=0的特征向量．从而A有n个线性无关的特征向量，A可以对角化(λ=1是r重根，λ=0是，n-r重根)，且有 [*]

解析

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