设f(x)在[0，1]上可导，且满足f(1)=∫01xf(x)dx，证明：必有一点ε∈(0，1)，使εf’(ε)+f(ε)=0．

admin2014-05-06 33

问题设f(x)在[0，1]上可导，且满足f(1)=∫₀¹xf(x)dx，证明：必有一点ε∈(0，1)，使εf^’(ε)+f(ε)=0．

选项

答案设F(x)=xf(x)，则F(x)在[0，1]上可导，且F^’(x)=f(x)+xf^’(x)，又根据定积分中值定理，F(1)=f(1)=∫₀^’xf(x)dx=∫₀¹F(x)dr=F(ξ)，0＜ξ＜1，则F(x)在[ξ，1]上满足罗尔定理，故至少ε∈(ξ，1)[*](0，1)，使得F^’(ε)=0成立，即εf^’(ε)+f(ε)=0．

解析

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