2. 专升本
  3. 设f(x)在[0，1]上可导，且满足f(1)=∫01xf(x)dx，证明：必有一点ε∈(0，1)，使εf’(ε)+f(ε)=0．

设f(x)在[0，1]上可导，且满足f(1)=∫01xf(x)dx，证明：必有一点ε∈(0，1)，使εf’(ε)+f(ε)=0．

admin2014-05-06  23
问题 设f(x)在[0，1]上可导，且满足f(1)=∫01xf(x)dx，证明：必有一点ε∈(0，1)，使εf’(ε)+f(ε)=0．
选项
答案设F(x)=xf(x)，则F(x)在[0，1]上可导，且F’(x)=f(x)+xf’(x)，又根据定积分中值定理，F(1)=f(1)=∫0’xf(x)dx=∫01F(x)dr=F(ξ)，0＜ξ＜1，则F(x)在[ξ，1]上满足罗尔定理，故至少ε∈(ξ，1)[*](0，1)，使得F’(ε)=0成立，即εf’(ε)+f(ε)=0．
解析
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