设f(x)连续，且满足f(tx)dt=f(x)+xsinx，求f(x)．

admin2016-10-26 45

问题设f(x)连续，且满足

f(tx)dt=f(x)+xsinx，求f(x)．

选项

答案令tx=s，原方程改写成 [*]f(s)ds=f(x)+xsinx(x≠0)，即[*]f(s)ds=xf(x)+x²sinx．([*]x) ① 将①式两边对x求导可得 f(x)=xf′(x)+f(x)+(x²sinx)′，即f′(x)=[*]． ② (x=0时两端自然成立，不必另加条件．) 再将②式两边直接积分得 f(x)=[*]=－xsinx+cosx+C．

解析

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