设y=arcsinx. 证明其满足方程（1－x2）y(n+2)－(2n+1)xy(n+1)－n2y(n)=0(n≥0).

admin2021-07-02 73

问题设y=arcsinx.
证明其满足方程（1－x²）y⁽ⁿ⁺²⁾－(2n+1)xy⁽ⁿ⁺¹⁾－n²y⁽ⁿ⁾=0(n≥0).

选项

答案由[*]得（1－x²)y"－xy’=0.由莱布尼茨公式，有（1－x²)y⁽ⁿ⁺²⁾－2nxy⁽ⁿ⁺¹⁾－n(n－1)y⁽ⁿ⁾－xy⁽ⁿ⁺¹⁾－ny⁽ⁿ⁾=0 即（1－x²)y⁽ⁿ⁺²⁾－(2n+1)xy⁽ⁿ⁺¹⁾－n²y⁽ⁿ⁾=0(n≥0）。

解析

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