设f(x)是连续函数,F(x)是f(x)的原函数,则

admin2018-11-20  39

问题 设f(x)是连续函数,F(x)是f(x)的原函数,则

选项 A、当f(x)是奇函数时,F(x)必是偶函数
B、当f(x)是偶函数时,F(x)必是奇函数
C、当f(x)是周期函数时,F(x)必是周期函数
D、当f(x)是单调函数时,F(x)必是单调函数

答案A

解析 对于A选项,因f(z)是奇函数,则f(-x)=-f(x).
记φ(x)=f(t)dt是f(x)的一个原函数,则有
φ(一x)=一f(一u)du=f(u)du=φ(x),
所以φ(x)是偶函数.记F(x)=φ(x)+C0,则有
  F(-x)=φ(一x)+C0=φ(x)+C0=F(x),
故F(x)是偶函数.
对于B选项,反例:    f(x)=cos x;F(x)=sin x+1.
对于C选项,反例:    f(x)=1+cos x;F(x)=x+sin x.
对于D选项,反例:    f(x)=2x;F(x)=x2
选A.
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