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  3. 设f(x)是连续函数，F(x)是f(x)的原函数，则

设f(x)是连续函数，F(x)是f(x)的原函数，则

admin2018-11-20  75
问题 设f(x)是连续函数，F(x)是f(x)的原函数，则
选项 A、当f(x)是奇函数时，F(x)必是偶函数
B、当f(x)是偶函数时，F(x)必是奇函数
C、当f(x)是周期函数时，F(x)必是周期函数
D、当f(x)是单调函数时，F(x)必是单调函数
答案A
解析 对于A选项，因f(z)是奇函数，则f(－x)=－f(x)．
记φ(x)=f(t)dt是f(x)的一个原函数，则有
φ(一x)=一f(一u)du=f(u)du=φ(x)，
所以φ(x)是偶函数．记F(x)=φ(x)+C0，则有
  F(－x)=φ(一x)+C0=φ(x)+C0=F(x)，
故F(x)是偶函数．
对于B选项，反例：    f(x)=cos x；F(x)=sin x+1．
对于C选项，反例：    f(x)=1+cos x；F(x)=x+sin x．
对于D选项，反例：    f(x)=2x；F(x)=x2．
选A．
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