设 (Ⅰ)求 (Ⅱ) 求J1=∫L(x，y)dx+Q(x，y)dy，其中L是椭圆周2x2+3y2=l，取逆时针方向． (Ⅲ) 求J2=∫C(x，y)dx+Q(x，y)dy，其中C是圆周x2+y2=32，取逆时针方向．

admin2017-11-23 38

问题设

(Ⅰ)求

(Ⅱ) 求J₁=∫_L(x，y)dx+Q(x，y)dy，其中L是椭圆周2x²+3y²=l，取逆时针方向．
(Ⅲ) 求J₂=∫_C(x，y)dx+Q(x，y)dy，其中C是圆周x²+y²=3²，取逆时针方向．

选项

答案(Ⅰ) [*] (Ⅱ)可考虑用格林公式求J₁．曲线L： [*] 围成区域记为D₁.P(x，y)，Q(x，y)当(x，y)≠(一l，0)时处处有连续偏导，(一1，0)∈D₁，又 [*] 于是在D₁上可用格林公式得 [*] (Ⅲ)因为 [*] 也考虑用格林公式计算J₂．因为P，Q在点(一1，0)处没定义，所以不能在C围成的区域D₂上直接用格林公式．但可在D₂中挖掉以(一1，0)为圆心，ε＞0充分小为半径的圆所余下的区域中用格林公式见图． [*] 求解如下：以(一1，0)为圆心ε＞0充分小为半径作圆周C_ε^-(取顺时针方向)，C_ε与C围成的区域记为D_ε，在D_ε上用格林公式得 [*] 其中C_ε⁺取逆时针方向．用“挖洞法”求得(*)式后，可用C_ε的方程 (x+1)²+y²=ε² 简化被积表达式，然后用格林公式得 [*] 其中D_ε^*是C_ε⁺所围的区域．

解析

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考研数学一

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设 (Ⅰ)求 (Ⅱ) 求J1=∫L(x，y)dx+Q(x，y)dy，其中L是椭圆周2x2+3y2=l，取逆时针方向． (Ⅲ) 求J2=∫C(x，y)dx+Q(x，y)dy，其中C是圆周x2+y2=32，取逆时针方向．

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