设 (Ⅰ)求 (Ⅱ) 求J1=∫L(x,y)dx+Q(x,y)dy,其中L是椭圆周2x2+3y2=l,取逆时针方向. (Ⅲ) 求J2=∫C(x,y)dx+Q(x,y)dy,其中C是圆周x2+y2=32,取逆时针方向.

admin2017-11-23  23

问题
(Ⅰ)求
(Ⅱ)  求J1=∫L(x,y)dx+Q(x,y)dy,其中L是椭圆周2x2+3y2=l,取逆时针方向.
(Ⅲ)  求J2=∫C(x,y)dx+Q(x,y)dy,其中C是圆周x2+y2=32,取逆时针方向.

选项

答案(Ⅰ) [*] (Ⅱ)可考虑用格林公式求J1.曲线L: [*] 围成区域记为D1.P(x,y),Q(x,y)当(x,y)≠(一l,0)时处处 有连续偏导,(一1,0)∈D1,又 [*] 于是在D1上可用格林公式得 [*] (Ⅲ)因为 [*] 也考虑用格林公式计算J2.因为P,Q在点(一1,0)处没定义, 所以不能在C围成的区域D2上直接用格林公式.但可在D2中挖掉以(一1,0)为圆心,ε>0充分小为半径的圆所余下的区域中用格林公式见图. [*] 求解如下: 以(一1,0)为圆心ε>0充分小为半径作圆周Cε-(取顺时针方向),Cε与C围成的区域记为Dε,在Dε上用格林公式得 [*] 其中Cε+取逆时针方向. 用“挖洞法”求得(*)式后,可用Cε的方程 (x+1)2+y22 简化被积表达式,然后用格林公式得 [*] 其中Dε*是Cε+所围的区域.

解析
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