2. 职业资格
  3. f(x)在闭区间[0，c]上连续，其导函数f’(x)在开区间(0，c)内存在且单调递减，f(0)=0. 运用拉格朗日中值定理证明不等式f(a+b)≤f(a)+f(b)，其中常数a，b满足条件0≤a≤b≤a+b≤c。

f(x)在闭区间[0，c]上连续，其导函数f’(x)在开区间(0，c)内存在且单调递减，f(0)=0. 运用拉格朗日中值定理证明不等式f(a+b)≤f(a)+f(b)，其中常数a，b满足条件0≤a≤b≤a+b≤c。

admin2022-08-12  48
问题 f(x)在闭区间[0，c]上连续，其导函数f’(x)在开区间(0，c)内存在且单调递减，f(0)=0.
运用拉格朗日中值定理证明不等式f(a+b)≤f(a)+f(b)，其中常数a，b满足条件0≤a≤b≤a+b≤c。
选项
答案当a=0时，f(0)=0有f(a+b)=f(b)=f(a)+f(b)。 当a＞0时，在[0，a]和[b，a+b]上分别运用拉格朗日中值定理，有 f’(ξ1)=[f(a)-f(0)]/(a-0)=f(a)/a，ξ1∈(0，a)， f’(ξ2)=[f(a+b)-f(b)]/(a+b-b)=[f(a+b)-f(b)]/a，ξ2∈(b，a+b)， 显然，0＜ξ1＜a≤b＜ξ2＜a+b≤c，因为f’(x)在(0，c)内单调递减，所以f’(ξ2)≤f’(ξ1)，从而有[f(a+b)-f(b)]/a≤f(a)/a，又a＞0，所以有f(a+b)≤f(a)+f(b)。
解析
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