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f(x)在闭区间[0,c]上连续,其导函数f’(x)在开区间(0,c)内存在且单调递减,f(0)=0. 运用拉格朗日中值定理证明不等式f(a+b)≤f(a)+f(b),其中常数a,b满足条件0≤a≤b≤a+b≤c。
f(x)在闭区间[0,c]上连续,其导函数f’(x)在开区间(0,c)内存在且单调递减,f(0)=0. 运用拉格朗日中值定理证明不等式f(a+b)≤f(a)+f(b),其中常数a,b满足条件0≤a≤b≤a+b≤c。
admin
2022-08-12
75
问题
f(x)在闭区间[0,c]上连续,其导函数f’(x)在开区间(0,c)内存在且单调递减,f(0)=0.
运用拉格朗日中值定理证明不等式f(a+b)≤f(a)+f(b),其中常数a,b满足条件0≤a≤b≤a+b≤c。
选项
答案
当a=0时,f(0)=0有f(a+b)=f(b)=f(a)+f(b)。 当a>0时,在[0,a]和[b,a+b]上分别运用拉格朗日中值定理,有 f’(ξ
1
)=[f(a)-f(0)]/(a-0)=f(a)/a,ξ
1
∈(0,a), f’(ξ
2
)=[f(a+b)-f(b)]/(a+b-b)=[f(a+b)-f(b)]/a,ξ
2
∈(b,a+b), 显然,0<ξ
1
<a≤b<ξ
2
<a+b≤c,因为f’(x)在(0,c)内单调递减,所以f’(ξ
2
)≤f’(ξ
1
),从而有[f(a+b)-f(b)]/a≤f(a)/a,又a>0,所以有f(a+b)≤f(a)+f(b)。
解析
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数学学科知识与教学能力题库教师资格分类
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数学学科知识与教学能力
教师资格
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