f(x)在闭区间[0，c]上连续，其导函数f’(x)在开区间(0，c)内存在且单调递减，f(0)=0. 运用拉格朗日中值定理证明不等式f(a+b)≤f(a)+f(b)，其中常数a，b满足条件0≤a≤b≤a+b≤c。

admin2022-08-12 37

问题 f(x)在闭区间[0，c]上连续，其导函数f’(x)在开区间(0，c)内存在且单调递减，f(0)=0.
运用拉格朗日中值定理证明不等式f(a+b)≤f(a)+f(b)，其中常数a，b满足条件0≤a≤b≤a+b≤c。

选项

答案当a=0时，f(0)=0有f(a+b)=f(b)=f(a)+f(b)。当a＞0时，在[0，a]和[b，a+b]上分别运用拉格朗日中值定理，有 f’(ξ₁)=[f(a)-f(0)]/(a-0)=f(a)/a，ξ₁∈(0，a)， f’(ξ₂)=[f(a+b)-f(b)]/(a+b-b)=[f(a+b)-f(b)]/a，ξ₂∈(b，a+b)，显然，0＜ξ₁＜a≤b＜ξ₂＜a+b≤c，因为f’(x)在(0，c)内单调递减，所以f’(ξ₂)≤f’(ξ₁)，从而有[f(a+b)-f(b)]/a≤f(a)/a，又a＞0，所以有f(a+b)≤f(a)+f(b)。

解析

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f(x)在闭区间[0，c]上连续，其导函数f’(x)在开区间(0，c)内存在且单调递减，f(0)=0. 运用拉格朗日中值定理证明不等式f(a+b)≤f(a)+f(b)，其中常数a，b满足条件0≤a≤b≤a+b≤c。

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