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设连续函数f(x)满足f(x)+∫0xtf(x-t)dt=sinx+x2+1,求f(x).
设连续函数f(x)满足f(x)+∫0xtf(x-t)dt=sinx+x2+1,求f(x).
admin
2022-12-09
21
问题
设连续函数f(x)满足f(x)+∫
0
x
tf(x-t)dt=sinx+x
2
+1,求f(x).
选项
答案
由∫
0
x
tf(x-t)dt[*]x∫
0
x
f(u)du-∫
0
x
uf(u)du得 f(x)+x∫
0
x
f(u)du-∫
0
x
uf(u)du=sinx+x
2
+1, 上式两边求导得 f′(x)+∫
0
x
f(u)du=cosx+2x, 再求导得 f″(x)+f(x)=-sinx+2, f″(x)+f(x)=0的通解为f(x)=C
1
cosx+C
2
sinx; 令f″(x)+f(x)=-sinx的特解为f
1
(x)=x(a cosx+b sinx),代入得a=1/2,b=0; 显然f
2
(x)=2为f″(x)+f(x)=2的一个特解, 故f″(x)+f(x)=-sinx+2的通解为f(x)=C
1
cosx+C
2
sinx+(1/2)xcosx+2, 再由f(0)=1,f′(0)=1得C
1
=-1,C
2
=1/2,故 f(x)=-cosx+1/2sinx+1/2x cosx+2.
解析
转载请注明原文地址:https://kaotiyun.com/show/RVgD777K
0
考研数学三
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