设连续函数f(x)满足f(x)+∫0xtf(x-t)dt=sinx+x2+1，求f(x)．

admin2022-12-09 37

问题设连续函数f(x)满足f(x)+∫₀^xtf(x-t)dt=sinx+x²+1，求f(x)．

选项

答案由∫₀^xtf(x-t)dt[*]x∫₀^xf(u)du-∫₀^xuf(u)du得 f(x)+x∫₀^xf(u)du-∫₀^xuf(u)du=sinx+x²+1，上式两边求导得 f′(x)+∫₀^xf(u)du=cosx+2x，再求导得 f″(x)+f(x)=-sinx+2， f″(x)+f(x)=0的通解为f(x)=C₁cosx+C₂sinx；令f″(x)+f(x)=-sinx的特解为f₁(x)=x(a cosx+b sinx)，代入得a=1/2，b=0；显然f₂(x)=2为f″(x)+f(x)=2的一个特解，故f″(x)+f(x)=-sinx+2的通解为f(x)=C₁cosx+C₂sinx+(1/2)xcosx+2，再由f(0)=1，f′(0)=1得C₁=-1，C₂=1/2，故 f(x)=-cosx+1/2sinx+1/2x cosx+2．

解析

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