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  3. 设连续函数f(x)满足f(x)+∫0xtf(x-t)dt=sinx+x2+1，求f(x)．

设连续函数f(x)满足f(x)+∫0xtf(x-t)dt=sinx+x2+1，求f(x)．

admin2022-12-09  30
问题 设连续函数f(x)满足f(x)+∫0xtf(x-t)dt=sinx+x2+1，求f(x)．
选项
答案由∫0xtf(x-t)dt[*]x∫0xf(u)du-∫0xuf(u)du得 f(x)+x∫0xf(u)du-∫0xuf(u)du=sinx+x2+1， 上式两边求导得 f′(x)+∫0xf(u)du=cosx+2x， 再求导得 f″(x)+f(x)=-sinx+2， f″(x)+f(x)=0的通解为f(x)=C1cosx+C2sinx； 令f″(x)+f(x)=-sinx的特解为f1(x)=x(a cosx+b sinx)，代入得a=1/2，b=0； 显然f2(x)=2为f″(x)+f(x)=2的一个特解， 故f″(x)+f(x)=-sinx+2的通解为f(x)=C1cosx+C2sinx+(1/2)xcosx+2， 再由f(0)=1，f′(0)=1得C1=-1，C2=1/2，故 f(x)=-cosx+1/2sinx+1/2x cosx+2．
解析
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考研数学三

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