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设连续函数y=f(x),x∈[a,b],其值域Rf[a,b],则一定存在x0∈[a,b],使f(x0)=x0.
设连续函数y=f(x),x∈[a,b],其值域Rf[a,b],则一定存在x0∈[a,b],使f(x0)=x0.
admin
2022-10-31
41
问题
设连续函数y=f(x),x∈[a,b],其值域R
f
[a,b],则一定存在x
0
∈[a,b],使f(x
0
)=x
0
.
选项
答案
∵R
f
[*][a,b],∴a≤f(x)≤b,x∈[a,b].① 用反证法.若f(x)≠x,[*]x∈[a,b],则可分四种情况讨论. (1)若f(x)>x,x∈[a,b].那么f(b)>b,这与①式矛盾 (2)若f(x)<x,x∈[a,b].那么f(a)<a,也与①式矛盾 (3)若存在x
1
∈[a,b],x
2
∈[a,b],使f(x
1
)<x
1
,f(x
2
)>x
2
,则令F(x)=f(x)-x,则F(x
1
)<0,F(x
2
)>0,所以存在ξ∈(x
1
,x
2
)[*][a,b],使F(ξ)=0.即f(ξ)=ξ.这与f(x)≠x,x∈[a,b]假设矛盾. (4)若存在x
1
∈[a,b],x
2
∈[a,b].使f(x
1
)>x
1
f(x
2
)<x
2
,类似可得矛盾. 从而得证存在x
0
∈[a,b],使f(x
0
)=x
0
.
解析
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0
考研数学二
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