2. 考研
  3. 设连续函数y=f(x)，x∈[a，b]，其值域Rf[a，b]，则一定存在x0∈[a，b]，使f(x0)=x0．

设连续函数y=f(x)，x∈[a，b]，其值域Rf[a，b]，则一定存在x0∈[a，b]，使f(x0)=x0．

admin2022-10-31  31
问题 设连续函数y=f(x)，x∈[a，b]，其值域Rf[a，b]，则一定存在x0∈[a，b]，使f(x0)=x0．
选项
答案∵Rf[*][a，b]，∴a≤f(x)≤b，x∈[a，b]．① 用反证法．若f(x)≠x，[*]x∈[a，b]，则可分四种情况讨论． (1)若f(x)＞x,x∈[a，b]．那么f(b)＞b，这与①式矛盾 (2)若f(x)＜x,x∈[a，b]．那么f(a)＜a，也与①式矛盾 (3)若存在x1∈[a，b]，x2∈[a，b]，使f(x1)＜x1，f(x2)＞x2，则令F(x)=f(x)-x，则F(x1)＜0，F(x2)＞0，所以存在ξ∈(x1，x2)[*][a,b],使F(ξ)=0．即f(ξ)=ξ．这与f(x)≠x，x∈[a,b]假设矛盾． (4)若存在x1∈[a，b]，x2∈[a，b]．使f(x1)＞x1f(x2)＜x2，类似可得矛盾． 从而得证存在x0∈[a，b]，使f(x0)=x0．
解析
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考研数学二

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