已知f(x),g(x)连续可导,且 f′(x)=g(x), g′(x)=f(x)+φ(x), 其中φ(x)为某已知连续函数,g(x)满足微分方程 g′(x)-xg(x)=cosx+φ(x), 求不定积分∫xf″(x)dx.

admin2016-01-25  68

问题 已知f(x),g(x)连续可导,且
   f′(x)=g(x),  g′(x)=f(x)+φ(x),
其中φ(x)为某已知连续函数,g(x)满足微分方程
    g′(x)-xg(x)=cosx+φ(x),
求不定积分∫xf″(x)dx.

选项

答案因为 ∫xf″(x)dx=∫xdf′(x)=xf′(x)-∫f′(x)dx =xf′(x)一f(x)+C, 又由 f′(x)=g(x), g′(x)=f(x)+φ(x), 于是有 ∫xf″(x)dx=xg(x)一[g′(x)~φ(x)]+C =xg(x)一g′(x)+φ(x)+C=-cosx+C. 注意 上例不必求解微分方程g′(x)一xg(x)=cosx+φ(x)求出g(x).

解析 从不定积分∫xf″(x)dx的形式:被积函数含有导函数为因子函数,可用分部积分法求之.
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