2. 考研
  3. 已知f(x)，g(x)连续可导，且 f′(x)＝g(x)， g′(x)＝f(x)＋φ(x)， 其中φ(x)为某已知连续函数，g(x)满足微分方程 g′(x)－xg(x)＝cosx＋φ(x)， 求不定积分∫xf″(x)dx．

已知f(x)，g(x)连续可导，且 f′(x)＝g(x)， g′(x)＝f(x)＋φ(x)， 其中φ(x)为某已知连续函数，g(x)满足微分方程 g′(x)－xg(x)＝cosx＋φ(x)， 求不定积分∫xf″(x)dx．

admin2016-01-25  86
问题 已知f(x)，g(x)连续可导，且
   f′(x)＝g(x)，  g′(x)＝f(x)＋φ(x)，
其中φ(x)为某已知连续函数，g(x)满足微分方程
    g′(x)－xg(x)＝cosx＋φ(x)，
求不定积分∫xf″(x)dx．
选项
答案因为 ∫xf″(x)dx＝∫xdf′(x)＝xf′(x)－∫f′(x)dx ＝xf′(x)一f(x)＋C， 又由 f′(x)＝g(x)， g′(x)＝f(x)＋φ(x)， 于是有 ∫xf″(x)dx＝xg(x)一[g′(x)～φ(x)]＋C ＝xg(x)一g′(x)＋φ(x)＋C＝－cosx＋C． 注意 上例不必求解微分方程g′(x)一xg(x)＝cosx＋φ(x)求出g(x)．
解析 从不定积分∫xf″(x)dx的形式：被积函数含有导函数为因子函数，可用分部积分法求之．
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考研数学三

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