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  3. 证明ax=1(a＞0，a≠1)．

证明ax=1(a＞0，a≠1)．

admin2022-10-31  5
问题 证明ax=1(a＞0，a≠1)．
选项
答案当0＜a＜1时，对[*]ε＞0，由不等式｜ax-1｜＜ε得1-ε＜ax＜1+ε．不妨限制ε＜1／2．由于0＜a＜1时，y=logax在R+上严格递减．于是当loga(1+ε)＜x＜loga(1-ε)时有1-ε＜ax＜1+ε．其中loga(1+ε)＜0，loga(1-ε)＞0，取δ=min{-loga(1+ε)．10ga(1-ε)}，则当0＜｜x-0｜＜δ时，有1-ε＜ax＜1+ε，即｜ax-1｜＜ε．故[*]ax=1． 当a＞1时．对[*]ε＞0(小妨设ε＜1)，为使｜ax-1｜＜ε，即1-ε＜ax＜1+ε．由于a＞1时，y=logax在R+上严格递增，于是当loga(1-ε)＜x＜loga(1+ε)时有1-ε＜ax＜1+ε．于是令δ=min{loga(1+ε)，-loga(1-ε)}，则当0＜｜x-0｜＜δ时，就有｜ax-1｜＜ε． 综上所述，[*]ax=1(a＞0，a≠1)．
解析
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考研数学二

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