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证明ax=1(a>0,a≠1).
证明ax=1(a>0,a≠1).
admin
2022-10-31
2
问题
证明
a
x
=1(a>0,a≠1).
选项
答案
当0<a<1时,对[*]ε>0,由不等式|a
x
-1|<ε得1-ε<a
x
<1+ε.不妨限制ε<1/2.由于0<a<1时,y=log
a
x在R
+
上严格递减.于是当log
a
(1+ε)<x<log
a
(1-ε)时有1-ε<a
x
<1+ε.其中log
a
(1+ε)<0,log
a
(1-ε)>0,取δ=min{-log
a
(1+ε).10g
a
(1-ε)},则当0<|x-0|<δ时,有1-ε<a
x
<1+ε,即|a
x
-1|<ε.故[*]a
x
=1. 当a>1时.对[*]ε>0(小妨设ε<1),为使|a
x
-1|<ε,即1-ε<a
x
<1+ε.由于a>1时,y=log
a
x在R
+
上严格递增,于是当log
a
(1-ε)<x<log
a
(1+ε)时有1-ε<a
x
<1+ε.于是令δ=min{log
a
(1+ε),-log
a
(1-ε)},则当0<|x-0|<δ时,就有|a
x
-1|<ε. 综上所述,[*]a
x
=1(a>0,a≠1).
解析
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考研数学二
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