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若函数f(x)在[a,b]上无界,则必存在[a,b]上某点,使得f(x)在该点的任意邻域内无界.
若函数f(x)在[a,b]上无界,则必存在[a,b]上某点,使得f(x)在该点的任意邻域内无界.
admin
2022-11-23
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问题
若函数f(x)在[a,b]上无界,则必存在[a,b]上某点,使得f(x)在该点的任意邻域内无界.
选项
答案
用反证法. 若[*]x∈[a,b],存在δ
x
>0,使得f(x)在U(x;δ
x
)中有界,则令H={U(x;δ
x
)|x∈[a,b]},它是[a,b]的一个无限开覆盖.由有限覆盖定理,存在 H
*
={U(x
i
;[*])|l≤i≤k}[*]H 为[a,b]的有限开覆盖.由于f(x)在每个U(x
i
;[*])内有界,因此f(x)在[a,b]上有界,这与f(x)在[a,b]上的无界性矛盾.
解析
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考研数学二
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