若函数f(x)在[a，b]上无界，则必存在[a，b]上某点，使得f(x)在该点的任意邻域内无界．

admin2022-11-23 31

问题若函数f(x)在[a，b]上无界，则必存在[a，b]上某点，使得f(x)在该点的任意邻域内无界．

选项

答案用反证法．若[*]x∈[a，b]，存在δ_x＞0，使得f(x)在U(x；δ_x)中有界，则令H={U(x；δ_x)｜x∈[a，b]}，它是[a，b]的一个无限开覆盖．由有限覆盖定理，存在 H^*={U(x_i；[*])｜l≤i≤k}[*]H 为[a，b]的有限开覆盖．由于f(x)在每个U(x_i；[*])内有界，因此f(x)在[a，b]上有界，这与f(x)在[a，b]上的无界性矛盾．

解析

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