设二次型f=xTAx=ax12+2x22一x32+8x1x2+2bx1x3+2cx2x3，矩阵A满足AB=O，其中B= (I)用正交变换化二次型f为标准形； (Ⅱ)判断矩阵A与B是否合同．

admin2020-09-23 31

问题设二次型f=x^TAx=ax₁²+2x₂²一x₃²+8x₁x₂+2bx₁x₃+2cx₂x₃，矩阵A满足AB=O，其中B=

(I)用正交变换化二次型f为标准形；
(Ⅱ)判断矩阵A与B是否合同．

选项

答案(I)二次型f的矩阵A=[*] 由AB=O，知λ₁=0是矩阵A的特征值，B的列向量α₁=(1，0，1)^T是A的特征值λ₁=0对应的特征向量，所以Aα₁=λ₁α₁，即 [*] 于是[*]解得a=一1，b=1，c=一4．由|λE—A|=[*]=λ(λ一6)(λ+6)=0，得矩阵A的特征值为λ₁=0， λ₂=6，λ₃=一6．当λ₂=6时，由(6E—A)x=0，得A的特征值λ₂=6对应的特征向量α₂=(1，2．一1)^T；当λ₃=一6时，由(一6E—A)x=0，得A的特征值λ₃=一6对应的特征向量α₃=(-1．1，1)^T，将α₁，α₂，α₃单位化，得 [*] 取P=(η₁，η₂，η₃)=[*]，则P是正交矩阵，且 P^-1AP=P¹AP=A=[*] 令x=Py，则x=Py即为所求正交变换，从而 f=x^TAx=y^T(P^TAP)y=6y₂²一6y₃²．即为二次型f的标准形． (Ⅱ)不合同，因为f=x^TAx=6y₂²一6y₃²，x^TBx=x₁²+2x₁x₃+x₃²=(x₁+x₃)²．令[*]则x^TBx=y₁²，x^TAx的正、负惯性指数分别为1，1，而x^TBx的正惯性指数为1，负惯性指数为0，所以A与B不合同．

解析

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考研数学一

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设二次型f=xTAx=ax12+2x22一x32+8x1x2+2bx1x3+2cx2x3，矩阵A满足AB=O，其中B= (I)用正交变换化二次型f为标准形； (Ⅱ)判断矩阵A与B是否合同．

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