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设二次型f=xTAx=ax12+2x22一x32+8x1x2+2bx1x3+2cx2x3,矩阵A满足AB=O,其中B= (I)用正交变换化二次型f为标准形; (Ⅱ)判断矩阵A与B是否合同.
设二次型f=xTAx=ax12+2x22一x32+8x1x2+2bx1x3+2cx2x3,矩阵A满足AB=O,其中B= (I)用正交变换化二次型f为标准形; (Ⅱ)判断矩阵A与B是否合同.
admin
2020-09-23
37
问题
设二次型f=x
T
Ax=ax
1
2
+2x
2
2
一x
3
2
+8x
1
x
2
+2bx
1
x
3
+2cx
2
x
3
,矩阵A满足AB=O,其中B=
(I)用正交变换化二次型f为标准形;
(Ⅱ)判断矩阵A与B是否合同.
选项
答案
(I)二次型f的矩阵A=[*] 由AB=O,知λ
1
=0是矩阵A的特征值,B的列向量α
1
=(1,0,1)
T
是A的特征值λ
1
=0对应的特征向量,所以Aα
1
=λ
1
α
1
,即 [*] 于是[*]解得a=一1,b=1,c=一4. 由|λE—A|=[*]=λ(λ一6)(λ+6)=0,得矩阵A的特征值为λ
1
=0, λ
2
=6,λ
3
=一6. 当λ
2
=6时,由(6E—A)x=0,得A的特征值λ
2
=6对应的特征向量α
2
=(1,2.一1)
T
; 当λ
3
=一6时,由(一6E—A)x=0,得A的特征值λ
3
=一6对应的特征向量α
3
=(-1.1,1)
T
,将α
1
,α
2
,α
3
单位化,得 [*] 取P=(η
1
,η
2
,η
3
)=[*],则P是正交矩阵,且 P
-1
AP=P
1
AP=A=[*] 令x=Py,则x=Py即为所求正交变换,从而 f=x
T
Ax=y
T
(P
T
AP)y=6y
2
2
一6y
3
2
. 即为二次型f的标准形. (Ⅱ)不合同,因为f=x
T
Ax=6y
2
2
一6y
3
2
,x
T
Bx=x
1
2
+2x
1
x
3
+x
3
2
=(x
1
+x
3
)
2
. 令[*]则x
T
Bx=y
1
2
,x
T
Ax的正、负惯性指数分别为1,1,而x
T
Bx的正惯性指数为1,负惯性指数为0,所以A与B不合同.
解析
转载请注明原文地址:https://kaotiyun.com/show/S0v4777K
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考研数学一
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