设二次型f=xTAx=ax12+2x22一x32+8x1x2+2bx1x3+2cx2x3，矩阵A满足AB=O，其中B= (I)用正交变换化二次型f为标准形； (Ⅱ)判断矩阵A与B是否合同．

admin2020-09-23 36

问题设二次型f=x^TAx=ax₁²+2x₂²一x₃²+8x₁x₂+2bx₁x₃+2cx₂x₃，矩阵A满足AB=O，其中B=

(I)用正交变换化二次型f为标准形；
(Ⅱ)判断矩阵A与B是否合同．

选项

答案(I)二次型f的矩阵A=[*] 由AB=O，知λ₁=0是矩阵A的特征值，B的列向量α₁=(1，0，1)^T是A的特征值λ₁=0对应的特征向量，所以Aα₁=λ₁α₁，即 [*] 于是[*]解得a=一1，b=1，c=一4．由|λE—A|=[*]=λ(λ一6)(λ+6)=0，得矩阵A的特征值为λ₁=0， λ₂=6，λ₃=一6．当λ₂=6时，由(6E—A)x=0，得A的特征值λ₂=6对应的特征向量α₂=(1，2．一1)^T；当λ₃=一6时，由(一6E—A)x=0，得A的特征值λ₃=一6对应的特征向量α₃=(-1．1，1)^T，将α₁，α₂，α₃单位化，得 [*] 取P=(η₁，η₂，η₃)=[*]，则P是正交矩阵，且 P^-1AP=P¹AP=A=[*] 令x=Py，则x=Py即为所求正交变换，从而 f=x^TAx=y^T(P^TAP)y=6y₂²一6y₃²．即为二次型f的标准形． (Ⅱ)不合同，因为f=x^TAx=6y₂²一6y₃²，x^TBx=x₁²+2x₁x₃+x₃²=(x₁+x₃)²．令[*]则x^TBx=y₁²，x^TAx的正、负惯性指数分别为1，1，而x^TBx的正惯性指数为1，负惯性指数为0，所以A与B不合同．

解析

转载请注明原文地址:https://kaotiyun.com/show/S0v4777K

考研数学一

相关试题推荐

随机试题

最新回复(0)

设二次型f=xTAx=ax12+2x22一x32+8x1x2+2bx1x3+2cx2x3，矩阵A满足AB=O，其中B= (I)用正交变换化二次型f为标准形； (Ⅱ)判断矩阵A与B是否合同．

考研数学一

设n阶矩阵A正定，X=(x1，x2，…，xn)T．证明：二次型f(x1，x2，…，xn)=一为正定二次型．

(1990年)质点p沿着以AB为直径的圆周，从点A(1，2)运动到点B(3，4)的过程中受变力F作用(见图2．7)，F的大小等于点p到原点O之间的距离，其方向垂直于线段Op且与y轴正向的夹角小于求变力F对质点p所作的功．

设向量组α1=(1，0，1)T，α2=(0，1，1)T，α3=(1，3，5)T不能由向量组β1=(1，1，1)T，β2=(1，2，3)T，β3=(3，4，a)T线性表示。(Ⅰ)求a的值；(Ⅱ)将β1，β2，β3由α1，α2，α3线性表示

设n阶矩阵A=(α1,α2,…αn)，B=(β1,β2,β2),AB=(γ1，γ2，…，γn)，令向量组(I)：α1,α2,…αn；(Ⅱ)：β1,β2,β2；(Ⅲ)：γ1，γ2，…，γn，若向量组(Ⅲ)线性相关，则（）.

求常数a.

已知曲线L的方程为y=1一｜x｜(x∈[一1，1])，起点是(一1，0)，终点为(1，0)，则曲线积分∫Lxydx+x2dy=____________．

设其中ai(i=1，2，3)为实数，则存在可逆阵C，使得CTAC=B，其中C=__________．

设．(Ⅰ)用变换x=t2将原方程化为y关于t的微分方程；(Ⅱ)求原方程的通解．

设f(x)=|x3一1|g(x)，其中g(x)连续，则g(1)=0是f(x)在x=1处可导的()．

下列城市规划管理实行建筑高度控制的要素中，哪项表述较全面?

关于民间非营利组织的会费收入，下列说法中正确的有()。

下列各项会计处理方法中，体现谨慎性原则要求的是()。

研究学校情境中学与教的基本心理规律的科学是()

恋爱中的道德要求主要体现在()

Routingincircuit-switchingnetworkshastraditionallyinvolvedastaticroutingstrategywiththeuseof(1)pathstorespond

EatingEtiquetteWhatshouldyoudoornotdowhenyouareeatinginBritain?TheBritishgenerallypayalotofattention

Intheeighteenthcentury,Japan’sfeudaloverlords,fromtheshogun(幕府时代的将军)tothehumblestsamurai(武士),foundthemselvesun