设随机变量X的分布函数为F(χ)＝0．50(χ)＋0．5Ф()，其中Ф(χ)为标准正态分布函数，则EX＝_______．

admin2019-05-22 112

问题设随机变量X的分布函数为F(χ)＝0．50(χ)＋0．5Ф(

)，其中Ф(χ)为标准正态分布函数，则EX＝_______．

选项

答案2

解析 X的概率密度为：
f(χ)＝F′(χ)＝0．5φ(χ)＋0．5φ

，
其中φ(χ)＝

为标准正态分布的概率密度，则
EX＝∫_－∞^＋∞χf(χ)dχ＝0．5∫_－∞^＋∞χφ(χ)dχ＋

∫_－∞^＋∞χφ(

)dχ
而∫_－∞^＋∞χφ(χ)dχ＝0，做积分变量代换：y＝

，可得
∫_－∞^＋∞χφ(

)dχ＝∫_－∞^＋∞(2y＋4)φ(y)2dy＝4∫_－∞^＋∞yφ(y)dy＋8∫_－∞^＋∞φ(y)dy＝0＋8＝8
故EX＝O．5×0＋

×8＝2。

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