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设二次型f(x1,x2,x3)=x12-x22+2ax1x3+4x2x3,的负惯性指数为1,则a的取值范围是__________.
设二次型f(x1,x2,x3)=x12-x22+2ax1x3+4x2x3,的负惯性指数为1,则a的取值范围是__________.
admin
2014-03-23
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问题
设二次型f(x
1
,x
2
,x
3
)=x
1
2
-x
2
2
+2ax
1
x
3
+4x
2
x
3
,的负惯性指数为1,则a的取值范围是__________.
选项
答案
-2≤a<2
解析
【解法一】 用配方法:
f(x
1
,x
2
,x
3
) =x
1
2-x
2
2
+2ax
1
x
3
+4x
2
x
3
=(x
1
+ax
3
)
2
-(x
2
-2x
3
)
2
+(4-a
2
)x
3
2
.
由负惯性指数为1,得(4-a
2
)≥0,-2≤a≤2.
【解法二】 此二次型的矩阵
设A的3个特征值按照大小顺序为λ
1
≤λ
2
≤λ
3
.则λ
1
+λ
2
+λ
3
=0.负惯性指数为1即λ
1
<0≤λ
2
≤λ
3
.则|A|≤0.反之,如果|A|<0,则特征值一定是2正1负,如果|A|=0,则特征值一定1正1负1个0.于是负惯性指数为
|A|≤0.计算出|A|=a
2
-4,得-2≤a<2.
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考研数学三
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