2. 考研
  3. 设二次型f(x1，x2，x3)=x12-x22+2ax1x3+4x2x3，的负惯性指数为1，则a的取值范围是__________．

设二次型f(x1，x2，x3)=x12-x22+2ax1x3+4x2x3，的负惯性指数为1，则a的取值范围是__________．

admin2014-03-23  64
问题 设二次型f(x1，x2，x3)=x12-x22+2ax1x3+4x2x3，的负惯性指数为1，则a的取值范围是__________．
选项
答案-2≤a＜2
解析 【解法一】  用配方法：
f(x1，x2，x3)  =x12-x22+2ax1x3+4x2x3
    =(x1+ax3)2-(x2-2x3)2+(4-a2)x32．
由负惯性指数为1，得(4-a2)≥0，-2≤a≤2．
【解法二】  此二次型的矩阵
    设A的3个特征值按照大小顺序为λ1≤λ2≤λ3．则λ1+λ2+λ3=0．负惯性指数为1即λ1＜0≤λ2≤λ3．则｜A｜≤0．反之，如果｜A｜＜0，则特征值一定是2正1负，如果｜A｜=0，则特征值一定1正1负1个0．于是负惯性指数为｜A｜≤0．计算出｜A｜=a2-4，得-2≤a＜2．
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考研数学三

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