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设二次型f(x1，x2，x3)=x12-x22+2ax1x3+4x2x3，的负惯性指数为1，则a的取值范围是__________．
设二次型f(x1，x2，x3)=x12-x22+2ax1x3+4x2x3，的负惯性指数为1，则a的取值范围是__________．
admin
2014-03-23
55
问题
设二次型f(x
1
，x
2
，x
3
)=x
1
2
-x
2
2
+2ax
1
x
3
+4x
2
x
3
，的负惯性指数为1，则a的取值范围是__________．
选项
答案
-2≤a＜2
解析
【解法一】 用配方法：
f(x
1
，x
2
，x
3
) =x
1
2-x
2
2
+2ax
1
x
3
+4x
2
x
3
=(x
1
+ax
3
)
2
-(x
2
-2x
3
)
2
+(4-a
2
)x
3
2
．
由负惯性指数为1，得(4-a
2
)≥0，-2≤a≤2．
【解法二】 此二次型的矩阵
设A的3个特征值按照大小顺序为λ
1
≤λ
2
≤λ
3
．则λ
1
+λ
2
+λ
3
=0．负惯性指数为1即λ
1
＜0≤λ
2
≤λ
3
．则｜A｜≤0．反之，如果｜A｜＜0，则特征值一定是2正1负，如果｜A｜=0，则特征值一定1正1负1个0．于是负惯性指数为
｜A｜≤0．计算出｜A｜=a
2
-4，得-2≤a＜2．
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考研数学三
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