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要造一个容积为32π立方厘米的圆柱形容器,其侧面与上底面用一种材料,下底面用另一种材料,已知下底面材料每平方厘米的价格为3元,侧面材料每平方厘米的价格为1元,问该容器的底面半径r与高h各为多少时,造这个容器所用的材料费用最少?
要造一个容积为32π立方厘米的圆柱形容器,其侧面与上底面用一种材料,下底面用另一种材料,已知下底面材料每平方厘米的价格为3元,侧面材料每平方厘米的价格为1元,问该容器的底面半径r与高h各为多少时,造这个容器所用的材料费用最少?
admin
2017-03-30
40
问题
要造一个容积为32π立方厘米的圆柱形容器,其侧面与上底面用一种材料,下底面用另一种材料,已知下底面材料每平方厘米的价格为3元,侧面材料每平方厘米的价格为1元,问该容器的底面半径r与高h各为多少时,造这个容器所用的材料费用最少?
选项
答案
设S为材料费用函数,则S=2πrh+πr
2
+3πr
2
,且满足条件πr
2
h=32π. 所以 [*] 因 [*] 令S′(r)=0,得驻点r=2. 因S″(2)=24π>0,且驻点唯一,所以r=2为S(r)的最小值点, 此时 [*] 所以r=2厘米,h=8厘米时,材料费用最少.
解析
本题为利用导数求最值问题.求最大值与最小值的一般方法是:
(1)求出f(x)在(a,b)内的所有(可能的极值点)驻点、导数不存在的点:x
1
,…,x
k
.
(2)求出上述各点及区间两个端点x=a,x=b处的函数值:f(x
1
),…,f(x
k
),f(a),f(b)进行比较,其中最大的数即为y=f(x)在[a,b]上的最大值,相应的x的取值即为f(x)在[a,b]上的最大值点,而其中最小的数值即为f(x)在[a,b]上的最小值,相应的x的取值即为f(x)在[a,b]上的最小值点.
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数学题库普高专升本分类
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数学
普高专升本
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