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设α1,α2,α3,α4为四维列向量组,且α1,α2,α3线性无关,α4=α1+α2+2α3.已知方程组[α1一α2,α2+α3,一α1+aα2+α3]X=α4有无穷多解. (1)求a的值; (2)用基础解系表示该方程组的通解.
设α1,α2,α3,α4为四维列向量组,且α1,α2,α3线性无关,α4=α1+α2+2α3.已知方程组[α1一α2,α2+α3,一α1+aα2+α3]X=α4有无穷多解. (1)求a的值; (2)用基础解系表示该方程组的通解.
admin
2016-01-25
67
问题
设α
1
,α
2
,α
3
,α
4
为四维列向量组,且α
1
,α
2
,α
3
线性无关,α
4
=α
1
+α
2
+2α
3
.已知方程组[α
1
一α
2
,α
2
+α
3
,一α
1
+aα
2
+α
3
]X=α
4
有无穷多解.
(1)求a的值;
(2)用基础解系表示该方程组的通解.
选项
答案
由题设,得矩阵 [α
1
一α
2
,α
2
+α
3
,一α
1
+aα
2
+α
3
]=[α
1
,α
2
,α
3
][*] 的秩小于3,又α
1
,α
2
,α
3
线性无关,故矩阵[*]不可逆,由 [*]=2-a=0,得a=2. 方程组[α
1
一α
2
,α
2
+α
3
,一α
1
+aα
2
+α
3
]X=α
4
化为 [α
1
,α
2
,α
3
][*]X[α
1
,α
2
,α
3
][*], 因为α
1
,α
2
,α
3
线性无关,所以原方程组与方程组[*]同解. 下面求方程组[*]的通解.为此先求出其导出组的基础解系及原方程组的一特解.将增广矩阵[*]用初等行变换化为系数矩阵含最高阶单位矩阵的矩阵: [*] 用基础解系、特解的简便求法得到其基础解系只含一个解向量a=[1,一1,1]
T
,特解为η=[1,2,0]
T
,故所求的通解为 kα+η=k[1,一1,1]
T
+[1,2,0]
T
,k为任意常数.
解析
所给方程组由于有无穷多解,则
r(A)=r(α
1
一α
2
,α
2
+α
3
,一α
1
+aα
2
+α
3
)<3.
由 [α
1
一α
2
,α
2
+α
3
,一α
1
+aα
2
+α
3
]=[α
1
,α
2
,α
3
]
知,必有
=0
从而可求出a.为求其基础解系,需将原方程组恒等变形去掉满秩矩阵,得其同解方程组而求之.
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考研数学三
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