2. 考研
  3. 设α1，α2，α3，α4为四维列向量组，且α1，α2，α3线性无关，α4＝α1＋α2＋2α3．已知方程组[α1一α2，α2＋α3，一α1＋aα2＋α3]X＝α4有无穷多解． (1)求a的值； (2)用基础解系表示该方程组的通解．

设α1，α2，α3，α4为四维列向量组，且α1，α2，α3线性无关，α4＝α1＋α2＋2α3．已知方程组[α1一α2，α2＋α3，一α1＋aα2＋α3]X＝α4有无穷多解． (1)求a的值； (2)用基础解系表示该方程组的通解．

admin2016-01-25  101
问题 设α1，α2，α3，α4为四维列向量组，且α1，α2，α3线性无关，α4＝α1＋α2＋2α3．已知方程组[α1一α2，α2＋α3，一α1＋aα2＋α3]X＝α4有无穷多解．
(1)求a的值；
(2)用基础解系表示该方程组的通解．
选项
答案由题设，得矩阵 [α1一α2，α2＋α3，一α1＋aα2＋α3]＝[α1，α2，α3][*] 的秩小于3，又α1，α2，α3线性无关，故矩阵[*]不可逆，由 [*]＝2－a＝0，得a＝2． 方程组[α1一α2，α2＋α3，一α1＋aα2＋α3]X＝α4化为 [α1，α2，α3][*]X[α1，α2，α3][*]， 因为α1，α2，α3线性无关，所以原方程组与方程组[*]同解． 下面求方程组[*]的通解．为此先求出其导出组的基础解系及原方程组的一特解．将增广矩阵[*]用初等行变换化为系数矩阵含最高阶单位矩阵的矩阵： [*] 用基础解系、特解的简便求法得到其基础解系只含一个解向量a＝[1，一1，1]T，特解为η＝[1，2，0]T，故所求的通解为 kα＋η＝k[1，一1，1]T＋[1，2，0]T，k为任意常数．
解析 所给方程组由于有无穷多解，则
r(A)＝r(α1一α2，α2＋α3，一α1＋aα2＋α3)＜3．
由    [α1一α2，α2＋α3，一α1＋aα2＋α3]＝[α1，α2，α3]
知，必有    ＝0
从而可求出a．为求其基础解系，需将原方程组恒等变形去掉满秩矩阵，得其同解方程组而求之．
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考研数学三

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