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若函数f是区间I上的一一对应的连续函数.则f是I上的严格单调函数.
若函数f是区间I上的一一对应的连续函数.则f是I上的严格单调函数.
admin
2022-10-31
80
问题
若函数f是区间I上的一一对应的连续函数.则f是I上的严格单调函数.
选项
答案
反证法.若f在I上不是严格单调的,则必[*]x
1
,x
2
,x
3
满足x
1
<x
2
<x
3
,使得 (f(x
1
)-f(x
2
))(f(x
2
)-f(x
3
))<0. 不妨设f(x
1
)>f(x
2
),f(x
2
)<f(x
3
).取满足下列条件的实数μ:f(x
2
)<μ<min{f(x
1
),f(x
3
)}.分别在区间[x
1
,x
2
],[x
2
,x
3
]上应用连续函数的介值定理,[*]ξ
1
,ξ
2
满足x
1
<ξ
1
x
2
,x
2
<ξ
2
x
3
,使得f(ξ
1
)=f(ξ
2
)=μ.此与f是一一对应矛盾.
解析
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考研数学三
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