2. 考研
  3. 设f为[a，b]上二阶可导函数，f(a)=f(b)=0，并存在一点c∈(a，b)使得f(c)＞0．证明至少存在一点ξ∈(a，b)，使得f”(ξ)＜0．

设f为[a，b]上二阶可导函数，f(a)=f(b)=0，并存在一点c∈(a，b)使得f(c)＞0．证明至少存在一点ξ∈(a，b)，使得f”(ξ)＜0．

admin2022-11-23  18
问题 设f为[a，b]上二阶可导函数，f(a)=f(b)=0，并存在一点c∈(a，b)使得f(c)＞0．证明至少存在一点ξ∈(a，b)，使得f”(ξ)＜0．
选项
答案因f(x)在[a，c]上满足拉格朗日定理，故[*]ξ1∈(a，c)，使f’(ξ1)=[*]．由f(c)＞0，f(a)=0，c-a＞0得f’(ξ1)＞0．同理，[*]ξ2∈(c，b)，使f’(ξ2)＜0．于是有f’(ξ1)＞f’(ξ2)，a＜ξ1＜ξ2＜b，又因为f’(x)在[ξ1，ξ2]上可导，由拉格朗日定理知，[*]ξ∈(ξ1，ξ2)[*](a，b)，使f”(ξ)=[*]＜0．
解析
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考研数学一

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