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设f为[a,b]上二阶可导函数,f(a)=f(b)=0,并存在一点c∈(a,b)使得f(c)>0.证明至少存在一点ξ∈(a,b),使得f”(ξ)<0.
设f为[a,b]上二阶可导函数,f(a)=f(b)=0,并存在一点c∈(a,b)使得f(c)>0.证明至少存在一点ξ∈(a,b),使得f”(ξ)<0.
admin
2022-11-23
14
问题
设f为[a,b]上二阶可导函数,f(a)=f(b)=0,并存在一点c∈(a,b)使得f(c)>0.证明至少存在一点ξ∈(a,b),使得f”(ξ)<0.
选项
答案
因f(x)在[a,c]上满足拉格朗日定理,故[*]ξ
1
∈(a,c),使f’(ξ
1
)=[*].由f(c)>0,f(a)=0,c-a>0得f’(ξ
1
)>0.同理,[*]ξ
2
∈(c,b),使f’(ξ
2
)<0.于是有f’(ξ
1
)>f’(ξ
2
),a<ξ
1
<ξ
2
<b,又因为f’(x)在[ξ
1
,ξ
2
]上可导,由拉格朗日定理知,[*]ξ∈(ξ
1
,ξ
2
)[*](a,b),使f”(ξ)=[*]<0.
解析
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考研数学一
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