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设X1,X2,…,Xn是来自正态总体X的简单随机样本,Y1=1/6(X1+…+X6),Y2=1/3(X7+X8+X9),S2=(X1-Y2)2,Z=,证明统计量Z服从自由度为2的t分布.
设X1,X2,…,Xn是来自正态总体X的简单随机样本,Y1=1/6(X1+…+X6),Y2=1/3(X7+X8+X9),S2=(X1-Y2)2,Z=,证明统计量Z服从自由度为2的t分布.
admin
2013-09-29
77
问题
设X
1
,X
2
,…,X
n
是来自正态总体X的简单随机样本,Y
1
=1/6(X
1
+…+X
6
),Y
2
=1/3(X
7
+X
8
+X
9
),S
2
=
(X
1
-Y
2
)
2
,Z=
,证明统计量Z服从自由度为2的t分布.
选项
答案
由题设,Y
1
是样本(X
1
+…+X
6
)的样本均值,Y
2
是样本(X
7
,X
8
,X
9
)的样本均值,S
2
是样本(X
7
,X
8
,X
9
)的样本方差,设D(x)=σ
2
E(x)=μ,则E(Y
1
)=E(Y
2
)=μ,且有D(Y
1
)=(1/6)σ
2
,D(Y
2
)=(1/3)σ
2
. 已知Y
1
与Y
2
独立且E(Y
1
-Y
2
)=0从而D(Y
1
-Y
2
)=[*] 因此[*] 又由正态总体样本方差的性质知x
2
=2S
2
/σ
2
服从自由度为2的x
2
分布, 因为Y
1
与S
2
独立,Y
2
与S
2
独立,因而Y
1
-Y
2
也与S
2
独立, 由服从t分布的随机变量的结构可知[*]服从自由度为2的t分布
解析
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考研数学三
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