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设X1，X2，…，Xn是来自正态总体X的简单随机样本，Y1=1/6(X1+…+X6)，Y2=1/3(X7+X8+X9)，S2=(X1-Y2)2，Z=，证明统计量Z服从自由度为2的t分布．
设X1，X2，…，Xn是来自正态总体X的简单随机样本，Y1=1/6(X1+…+X6)，Y2=1/3(X7+X8+X9)，S2=(X1-Y2)2，Z=，证明统计量Z服从自由度为2的t分布．
admin
2013-09-29
68
问题
设X
1
，X
2
，…，X
n
是来自正态总体X的简单随机样本，Y
1
=1/6(X
1
+…+X
6
)，Y
2
=1/3(X
7
+X
8
+X
9
)，S
2
=
(X
1
-Y
2
)
2
，Z=
，证明统计量Z服从自由度为2的t分布．
选项
答案
由题设，Y
1
是样本(X
1
+…+X
6
)的样本均值，Y
2
是样本(X
7
，X
8
，X
9
)的样本均值，S
2
是样本(X
7
，X
8
，X
9
)的样本方差，设D(x)=σ
2
E(x)=μ，则E(Y
1
)=E(Y
2
)=μ，且有D(Y
1
)=(1/6)σ
2
，D(Y
2
)=(1/3)σ
2
． 已知Y
1
与Y
2
独立且E(Y
1
-Y
2
)=0从而D(Y
1
-Y
2
)=[*] 因此[*] 又由正态总体样本方差的性质知x
2
=2S
2
/σ
2
服从自由度为2的x
2
分布， 因为Y
1
与S
2
独立，Y
2
与S
2
独立，因而Y
1
-Y
2
也与S
2
独立， 由服从t分布的随机变量的结构可知[*]服从自由度为2的t分布
解析
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考研数学三
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