设X1，X2，…，Xn是来自正态总体X的简单随机样本，Y1=1/6(X1+…+X6)，Y2=1/3(X7+X8+X9)，S2=(X1-Y2)2，Z=，证明统计量Z服从自由度为2的t分布．

admin2013-09-29 84

问题设X₁，X₂，…，X_n是来自正态总体X的简单随机样本，Y₁=1/6(X₁+…+X₆)，Y₂=1/3(X₇+X₈+X₉)，S²=

(X₁-Y₂)²，Z=

，证明统计量Z服从自由度为2的t分布．

选项

答案由题设，Y₁是样本(X₁+…+X₆)的样本均值，Y₂是样本(X₇，X₈，X₉)的样本均值，S²是样本(X₇，X₈，X₉)的样本方差，设D(x)=σ²E(x)=μ，则E(Y₁)=E(Y₂)=μ，且有D(Y₁)=(1/6)σ²，D(Y₂)=(1/3)σ²．已知Y₁与Y₂独立且E(Y₁-Y₂)=0从而D(Y₁-Y₂)=[*] 因此[*] 又由正态总体样本方差的性质知x²=2S²/σ²服从自由度为2的x²分布，因为Y₁与S²独立，Y₂与S²独立，因而Y₁-Y₂也与S²独立，由服从t分布的随机变量的结构可知[*]服从自由度为2的t分布

解析

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考研数学三

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设X1，X2，…，Xn是来自正态总体X的简单随机样本，Y1=1/6(X1+…+X6)，Y2=1/3(X7+X8+X9)，S2=(X1-Y2)2，Z=，证明统计量Z服从自由度为2的t分布．

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