设f(χ)在[a,b]上有定义,M>0且对任意的χ,y∈[a,b],有|f(χ)-f(y)|≤M|χ-y|k. (1)证明:当k>0时,f(χ)在[a,b]上连续; (2)证明:当k>1时,f(χ)≡常数.

admin2017-09-15  37

问题 设f(χ)在[a,b]上有定义,M>0且对任意的χ,y∈[a,b],有|f(χ)-f(y)|≤M|χ-y|k
    (1)证明:当k>0时,f(χ)在[a,b]上连续;
    (2)证明:当k>1时,f(χ)≡常数.

选项

答案(1)对任意的χ∈0[a,b],由已知条件得 0≤|f(χ)-f(χ0)|≤M |χ-χ0k,[*]f(χ)=f(χ0), 再由χ0的任意性得f(χ)在[a,b]上连续. (2)对任意的χ0∈[a,b],因为k>1, 所以0≤[*]<M|χ-χ0k-1由夹逼定理得f′(χ0)=0,因为χ0是任意一点,所以f′(χ)≡0,故f(χ)≡常数.

解析
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