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如图,已知曲线C1:-y2=1,曲线C2:|y|=|x|+1,P是平面上一点,若存在过点P的直线与C1,C2都有公共点,则称P为“C1一C2型点”. 求证:圆x2+y2=内的点都不是“C1一C2型点”.
如图,已知曲线C1:-y2=1,曲线C2:|y|=|x|+1,P是平面上一点,若存在过点P的直线与C1,C2都有公共点,则称P为“C1一C2型点”. 求证:圆x2+y2=内的点都不是“C1一C2型点”.
admin
2019-08-05
34
问题
如图,已知曲线C
1
:
-y
2
=1,曲线C
2
:|y|=|x|+1,P是平面上一点,若存在过点P的直线与C
1
,C
2
都有公共点,则称P为“C
1
一C
2
型点”.
求证:圆x
2
+y
2
=
内的点都不是“C
1
一C
2
型点”.
选项
答案
显然过圆x
2
+y
2
=[*]内一点的直线l若与曲线C
1
有交点,则斜率必存在;根据对称性,不妨设直线l斜率存在且与曲线C
2
交于点(t,t+1)(t≥0),则l:y=(t+1)=k(x一t)[*]kx—y+(1+t-kt)=0,直线l与圆x
2
+y
2
=[*]内部有交点,故[*],化简得:(1+t一tk)
2
<[*](k
2
+1)① 若直线l与曲线C
1
有交点, 则[*]x
2
+2k(1+t一kt)x+(1+t一kt)
2
+1=0, △=4k
2
(1+t一kt)
2
一4(k
2
一[*])[(1+t一kt)
2
+1]≥0[*](1+t一kt)
2
≥2(k
2
一1), 化简得:(1+t一kt)
2
≥2(k
2
一1)② 由①②得:2(k
2
一1)≤(1+t一tk)
2
<[*]k
2
<1, 但此时,因为t≥0,[1+t(1一k)]
2
≥1,[*](k
2
+1)<1,即①式不成立; 当k
2
=[*]时,①式也不成立,综上,直线l若与圆x
2
+y
2
=[*]内有交点,则不可能同时与曲线C
1
和C
2
有交点,即圆x
2
+y
2
=[*]内的点都不是“C
1
一C
2
型点”.
解析
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