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函数f(x)=2x-x2-1( )
函数f(x)=2x-x2-1( )
admin
2016-02-27
35
问题
函数f(x)=2
x
-x
2
-1( )
选项
A、至多有两个零点。
B、只有三个零点。
C、没有零点。
D、有无穷多个零点。
答案
B
解析
显然f(0)=0,f(1)=0,此外f(4)=-1<0,f(5)=6>0,所以由零点定理,至少有一点x
0
∈(4,5),使得f(x
0
)=0,即函数至少有三个零点。
以下证明函数只有这三个零点(反证法):
假设函数f(x)有四个零点,设为x
1
<x
2
<x
3
<x
4
,由罗尔定理有x
1
<ξ
1
<x
2
<ξ
2
<x
3
<ξ
3
<x
4
,使得
f’(ξ
1
)=f’(ξ
2
)=f’(ξ
3
)=0,
再用罗尔定理有ξ
1
<η
1
<ξ
2
<η
2
<ξ
3
,使得
f”(η
1
)=f”(η
2
)=0,
再用罗尔定理有η
1
<ζ<η
2
,使得
f
(3)
(ζ)=0,
但f
(3)
(x)=2
x
(1n2)
3
>0恒成立,这与f
(3)
(ζ)=0矛盾,故函数只有三个零点。故选B。
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考研数学二
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