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  3. 函数f(x)=2x-x2-1( )

函数f(x)=2x-x2-1( )

admin2016-02-27  36
问题 函数f(x)=2x-x2-1(     )
选项 A、至多有两个零点。
B、只有三个零点。
C、没有零点。
D、有无穷多个零点。
答案B
解析 显然f(0)=0，f(1)=0，此外f(4)=-1＜0,f(5)=6＞0，所以由零点定理，至少有一点x0∈(4，5)，使得f(x0)=0，即函数至少有三个零点。
    以下证明函数只有这三个零点(反证法)：
    假设函数f(x)有四个零点，设为x1＜x2＜x3＜x4，由罗尔定理有x1＜ξ1＜x2＜ξ2＜x3＜ξ3＜x4，使得
    f’(ξ1)=f’(ξ2)=f’(ξ3)=0，
再用罗尔定理有ξ1＜η1＜ξ2＜η2＜ξ3，使得
    f”(η1)=f”(η2)=0，
再用罗尔定理有η1＜ζ＜η2，使得
    f(3)(ζ)=0，
但f(3)(x)=2x(1n2)3＞0恒成立，这与f(3)(ζ)=0矛盾，故函数只有三个零点。故选B。
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考研数学二

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