2. 考研
  3. 设f在[-a，a]上可积，证明： (1)若f为奇函数，则∫-aaf(x)dx=0； (2)若f为偶函数，则∫-aaf(x)dx=2∫0af(x)dx．

设f在[-a，a]上可积，证明： (1)若f为奇函数，则∫-aaf(x)dx=0； (2)若f为偶函数，则∫-aaf(x)dx=2∫0af(x)dx．

admin2022-11-23  1
问题 设f在[-a，a]上可积，证明：
    (1)若f为奇函数，则∫-aaf(x)dx=0；
    (2)若f为偶函数，则∫-aaf(x)dx=2∫0af(x)dx．
选项
答案∵∫-aaf(x)dx=∫-a0f(x)dx+∫0af(x)dx， 又∫-a0f(x)dx=∫a0f(-t)d(-t)=∫0af(-x)dx， ∴∫-aaf(x)dx=∫0af(-x)dx+∫0af(x)dx=∫0a[f(x)+f(-x)]dx． (1)若f(x)为奇函数，则f(x)+f(-x)=0，故∫-aaf(x)dx=0． (2)若f(x)为偶函数，则f(x)+f(-x)=2f(x)，故∫-aaf(x)dx=2∫0af(x)dx．
解析
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考研数学二

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