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设f(x)在[0，1]上连续，在(0，1)内可导，若在(0，1)内有x1
设f(x)在[0，1]上连续，在(0，1)内可导，若在(0，1)内有x1
admin
2015-12-22
30
问题
设f(x)在[0，1]上连续，在(0，1)内可导，若在(0，1)内有x
1
2，使
证明：在(0，1)内存在ξ
1
，ξ
2
，使f′(ξ
1
)≥f′(ξ
2
)．
选项
答案
要产生两个中值点ξ
1
与ξ
2
满足f′(ξ
1
)≥f′(ξ
1
)，一般要使用两次中值定理．如果令x
0
=(x
1
+x
2
)／2，则有 2f(x
0
)≥f(x
1
)+f(x
2
)， 即 (x
0
)一f(x
1
)≥f(x
2
)一f(x
0
)． 不等式两边的差值就是使用拉格朗日中值定理的信号．这样问题就解决了． 证 令[*]，移项有 f(x
0
)一f(x
1
)≥f(x
2
)一f(x
0
)． ① 利用拉格朗日中值定理，有 f(x
0
)一f(x
1
)=f′(ξ
1
)(x
0
一x
1
) ② f(x
2
)一f(x
0
)=f′(ξ
2
)(x
2
一x
0
) ③ 将式②、式③代入式①，有 f′(ξ
1
)(x
0
—x
1
)≥f′(ξ
2
)(x
2
—x
0
)， 因x
0
—x
1
=x
2
—x
0
，故有 f′(ξ
1
)≥f′(ξ
2
)．
解析
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0
考研数学二
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