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设f(x)在[a，b]上连续，任取xi∈[a，b](i＝1，2，…，n)，任取ki＞0(i＝1，2，…，n)，证明：存在ξ∈[a，b]，使得 k1f(x1)＋k2f(x2)＋…＋knf(xn)＝(k1＋k2＋…＋kn)f(ξ)．
设f(x)在[a，b]上连续，任取xi∈[a，b](i＝1，2，…，n)，任取ki＞0(i＝1，2，…，n)，证明：存在ξ∈[a，b]，使得 k1f(x1)＋k2f(x2)＋…＋knf(xn)＝(k1＋k2＋…＋kn)f(ξ)．
admin
2015-07-24
15
问题
设f(x)在[a，b]上连续，任取x
i
∈[a，b](i＝1，2，…，n)，任取k
i
＞0(i＝1，2，…，n)，证明：存在ξ∈[a，b]，使得
k
1
f(x
1
)＋k
2
f(x
2
)＋…＋k
n
f(x
n
)＝(k
1
＋k
2
＋…＋k
n
)f(ξ)．
选项
答案
因为f(x)在[a，b]上连续，所以f(x)在[a，b]上取到最小值m和最大值M， 显然有 m≤f(x
i
)≤M(i＝1，2，…，n)， 注意到k
i
＞0(i＝1，2，…，n)， 所以有 k
i
m≤k
i
f(x
i
)≤k
i
M(i＝1，2，…，n)， 同向不等式相加，得 (k
1
＋k
2
＋…＋k
n
)m≤k
1
f(x
1
)＋k
2
f(x
2
)＋…＋k
n
f(x
n
)≤(k
1
＋k
2
＋…＋k
n
)M， 即[*]， 由介值定理，存在ξ∈[a，b]，使得 [*] 即k
1
f(x
1
)＋k
2
f(x
2
)＋…＋k
n
f(x
n
)＝(k
1
＋k
2
＋…＋k
n
)f(ξ)．
解析
转载请注明原文地址:https://kaotiyun.com/show/T9w4777K
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考研数学一
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