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村民陶某承包一块长方形种植地,他将地分割成如图所示的 4 个小长方形,在 A、B、C、D 四块长方形土地上分别种植西瓜、花生、地瓜、水稻。其中长方形 A、B、C 的周长分别是 20 米、24 米、28 米,那么长方形 D 的最大面积是:
村民陶某承包一块长方形种植地,他将地分割成如图所示的 4 个小长方形,在 A、B、C、D 四块长方形土地上分别种植西瓜、花生、地瓜、水稻。其中长方形 A、B、C 的周长分别是 20 米、24 米、28 米,那么长方形 D 的最大面积是:
admin
2021-03-31
62
问题
村民陶某承包一块长方形种植地,他将地分割成如图所示的 4 个小长方形,在 A、B、C、D 四块长方形土地上分别种植西瓜、花生、地瓜、水稻。其中长方形 A、B、C 的周长分别是 20 米、24 米、28 米,那么长方形 D 的最大面积是:
选项
A、42 平方米
B、49 平方米
C、64 平方米
D、81 平方米
答案
C
解析
解法一:
第一步,本题考查几何问题,属于平面几何类,用方程法解题。
第二步,如图所示,设长方形 A 的宽为 a,长为 b,则 a+b=10。长方形 B 的宽为 c,则 b+c=12。长方形 C
的长为 d,则 a+d=14,所以 c+d=(a+d)+(b+c)-(a+b)=16,长方形 D 的周长为 32。
或者由于 C 的周长比 A 多 28-20=8,与 D 比 B 多的周长一致,可知 D 的周长为 24+8=32。
第三步,周长一定,越接近正方形面积越大,故 D 为正方形时即边长为 8 时面积最大,此时面积等于 8×8=64。
因此,选择 C 选项。
解法二:
第一步,本题考查几何问题,属于平面几何类,用方程法解题。
第二步,设 A 的长和宽分别为 x、y,由长方形 A 周长为 20 米,可得 x+y=10;由长方形 B 周长 24 米,且长方形 B 与长方形 A 的长相同,可得 B 的长和宽分别为 x、y+2;由长方形 C 周长 28 米,且长方形 C 与长方形 A 的宽相同,可得 C 的长和宽分别为 x+4、y。那么长方形 D 的面积 S=(x+4)(y+2)=(x+4)(10-x+2)=(x+4)(12-x),当且仅当 x+4=12-x,即 x=4 时 S 取最大值,此时 S=64,故长方形 D 的最大面积为 64 平方米。
因此,选择 C 选项。
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