2. 考研
  3. 已知A是3阶实对称矩阵，满足A4+2A3+A4+2A=O，且秩r(A)=2，求矩阵A的全部特征值，并求秩r(A+E)．

已知A是3阶实对称矩阵，满足A4+2A3+A4+2A=O，且秩r(A)=2，求矩阵A的全部特征值，并求秩r(A+E)．

admin2016-05-31  66
问题 已知A是3阶实对称矩阵，满足A4+2A3+A4+2A=O，且秩r(A)=2，求矩阵A的全部特征值，并求秩r(A+E)．
选项
答案设λ是矩阵A的任一特征值，α是属于特征值λ的特征向量，则Aα=λα(α≠0)，于是Anα=λnα 那么用α右乘A4+2A3+A2+2A=0，得(λ4+2λ3+λ2+2λ)α=0． 因为特征向量α≠0，故λ4+2λ3+λ2+2λ=λ(λ3+2λ2+λ+2)=λ(λ+2)(λ2+1)=0．由于实对称矩阵的特征值必是实数，从而矩阵A的特征值是0或-2． 由于实对称矩阵必可相似对角化，且秩r(A)=r(A)=2，所以A的特征值是0，-2，-2． 因A～A，则有A+E～A+E=[*]，所以r(A+E)=r(A+E)=3．
解析
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考研数学三

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