设A是n(n≥3)阶矩阵，证明：(A)=｜A｜n-2A．

admin2022-11-03 254

问题设A是n(n≥3)阶矩阵，证明：(A^*)^*=｜A｜^n-2A．

选项

答案(A^*)^*A^*=｜A^*｜E=｜A｜^n-1E，当r(A)=n时，r(A^*)=n，A^*=｜A｜A^-1，则(A^*)^*A^*=(A^*)^*｜A｜ A^-1=｜A^n-1E，故(A^*)^*=｜A｜^n-2A．当r(A)=n-1时，｜A｜=0，r(A^*)=1，r[(A^*)^*]=0，即(A^*)^*=0，原式显然成立．当r(A)＜n-1时，｜A｜=0，r(A^*)=0，(A^*)^*=0，原式也成立．

解析

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