设f(x)具有连续导数,且满足f(x)=x+∫0xtf’(x—t)dt.求.

admin2017-07-26  36

问题 设f(x)具有连续导数,且满足f(x)=x+∫0xtf’(x—t)dt.求

选项

答案由已知条件f(x)=x+∫0xtf’(x—t)dt可化为 f(x)=x+x∫0xf’(u)du一∫0xuf’(u)du. 两边对x求导得: f’(x)=1+∫0xf’(u)du+xf’(x)一xf’(x) =1+f(x)一f(0) =1+f(x) (f(0)=0). 得f(x)=ex一1.所以[*](ex一1)=一1.

解析 f(x)的表达式中含有参变量的积分,应经变量替换将参变量移至积分号外或积分限上再求极限.
    ∫0xf(x—t)dt0x(x一u)f’(u)du
    =x∫0xf’(u)一∫0xuf(u)du.
将参变量x提到积分号外后,已知条件可化为:
    f(x)=x+x∫0xf’(u)du一∫0xu’f(u)du.
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