设f(x)具有连续导数，且满足f(x)=x+∫0xtf’(x—t)dt．求．

admin2017-07-26 33

问题设f(x)具有连续导数，且满足f(x)=x+∫₀^xtf’(x—t)dt．求

．

选项

答案由已知条件f(x)=x+∫₀^xtf’(x—t)dt可化为 f(x)=x+x∫₀^xf’(u)du一∫₀^xuf’(u)du．两边对x求导得： f’(x)=1+∫₀^xf’(u)du+xf’(x)一xf’(x) =1+f(x)一f(0) =1+f(x) (f(0)=0)．得f(x)=e^x一1．所以[*](e^x一1)=一1．

解析 f(x)的表达式中含有参变量的积分，应经变量替换将参变量移至积分号外或积分限上再求极限．
∫₀^xf(x—t)dt

∫₀^x(x一u)f’(u)du
=x∫₀^xf’(u)一∫₀^xuf(u)du．
将参变量x提到积分号外后，已知条件可化为：
f(x)=x+x∫₀^xf’(u)du一∫₀^xu’f(u)du．

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