2. 考研
  3. 设f(x)具有连续导数，且满足f(x)=x+∫0xtf’(x—t)dt．求．

设f(x)具有连续导数，且满足f(x)=x+∫0xtf’(x—t)dt．求．

admin2017-07-26  24
问题 设f(x)具有连续导数，且满足f(x)=x+∫0xtf’(x—t)dt．求．
选项
答案由已知条件f(x)=x+∫0xtf’(x—t)dt可化为 f(x)=x+x∫0xf’(u)du一∫0xuf’(u)du． 两边对x求导得： f’(x)=1+∫0xf’(u)du+xf’(x)一xf’(x) =1+f(x)一f(0) =1+f(x) (f(0)=0)． 得f(x)=ex一1．所以[*](ex一1)=一1．
解析 f(x)的表达式中含有参变量的积分，应经变量替换将参变量移至积分号外或积分限上再求极限．
    ∫0xf(x—t)dt∫0x(x一u)f’(u)du
    =x∫0xf’(u)一∫0xuf(u)du．
将参变量x提到积分号外后，已知条件可化为：
    f(x)=x+x∫0xf’(u)du一∫0xu’f(u)du．
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考研数学三

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