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设f(x)具有连续导数,且满足f(x)=x+∫0xtf’(x—t)dt.求.
设f(x)具有连续导数,且满足f(x)=x+∫0xtf’(x—t)dt.求.
admin
2017-07-26
50
问题
设f(x)具有连续导数,且满足f(x)=x+∫
0
x
tf’(x—t)dt.求
.
选项
答案
由已知条件f(x)=x+∫
0
x
tf’(x—t)dt可化为 f(x)=x+x∫
0
x
f’(u)du一∫
0
x
uf’(u)du. 两边对x求导得: f’(x)=1+∫
0
x
f’(u)du+xf’(x)一xf’(x) =1+f(x)一f(0) =1+f(x) (f(0)=0). 得f(x)=e
x
一1.所以[*](e
x
一1)=一1.
解析
f(x)的表达式中含有参变量的积分,应经变量替换将参变量移至积分号外或积分限上再求极限.
∫
0
x
f(x—t)dt
∫
0
x
(x一u)f’(u)du
=x∫
0
x
f’(u)一∫
0
x
uf(u)du.
将参变量x提到积分号外后,已知条件可化为:
f(x)=x+x∫
0
x
f’(u)du一∫
0
x
u’f(u)du.
转载请注明原文地址:https://kaotiyun.com/show/TfH4777K
0
考研数学三
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