设A，B为3阶矩阵，已知A的特征值为-1，0，3，AB+A=B+2E，则与B-1+E相似的对角矩阵为________.

admin2022-12-09 42

问题设A，B为3阶矩阵，已知A的特征值为-1，0，3，AB+A=B+2E，则与B^-1+E相似的对角矩阵为________.

选项

答案[*]

解析由AB+A=B+2E得
AB-B+A-E=E，即(A-E)(B+E)=E，或B+E=(A-E)^-1，
由A的特征值为-1，0，3得A-E的特征值为-2，-1，2，
从而B+E的特征值为-1/2，-1，1/2，于是B的特征值为-3/2，-2，-1/2
故B^-1的特征值为-2/3，-1/2，-2，B^-1+E的特征值为1/3,1/2，-1，
再由B^-1+E的特征值都是单值得B^-1+E可相似对角化，
则B^-1+E～