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  3. 如下图所示，设0＜a＜b，函数f(x)在[a，b]上连续，在(a，b)可微且f(x)＞0，f(a)=f(b)．设l为绕原点O可转动的细棍(射线)，放手后落在函数f(x)的图象上并支撑在点A(ξ，f(ξ))上，从直观上看， 证明函数在ξ处取

如下图所示，设0＜a＜b，函数f(x)在[a，b]上连续，在(a，b)可微且f(x)＞0，f(a)=f(b)．设l为绕原点O可转动的细棍(射线)，放手后落在函数f(x)的图象上并支撑在点A(ξ，f(ξ))上，从直观上看， 证明函数在ξ处取

admin2016-01-05  49
问题 如下图所示，设0＜a＜b，函数f(x)在[a，b]上连续，在(a，b)可微且f(x)＞0，f(a)=f(b)．设l为绕原点O可转动的细棍(射线)，放手后落在函数f(x)的图象上并支撑在点A(ξ，f(ξ))上，从直观上看，
   
    证明函数在ξ处取得最大值，并由此证明(*)式．
   
选项
答案证明：函数f(x)在[a，b]上连续，(a，b)可微，b＞a＞0，则[*]在[a，b]上连续，在(a，b)可微．[*]，令F’(x)=0，则F(x)在(a，b)存在极值点，满足f’(x)x一f(x)=0，又因为l是f(x)的切线，切点为A(ξ，f(ξ))，故l：y一f(ξ)=f’(ξ)(x—ξ)．而l过点(0，0)，即0一f(ξ)=f’(ξ)(一ξ)，f’(ξ)ξ一f(ξ)=0，满足f’(x)x一f(x)=0，即为x=ξ∈(a，b)是函数F(x)的极值点，且[*]．又在(a，b)内，f(a)=f(b)=0，且f(x)＞0，则F(a)=F(b)=0，且F(ξ)＞F(a)=F(b)，所以函数[*]在ξ处取得最大值．
解析
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