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如下图所示,设0<a<b,函数f(x)在[a,b]上连续,在(a,b)可微且f(x)>0,f(a)=f(b).设l为绕原点O可转动的细棍(射线),放手后落在函数f(x)的图象上并支撑在点A(ξ,f(ξ))上,从直观上看, 证明函数在ξ处取
如下图所示,设0<a<b,函数f(x)在[a,b]上连续,在(a,b)可微且f(x)>0,f(a)=f(b).设l为绕原点O可转动的细棍(射线),放手后落在函数f(x)的图象上并支撑在点A(ξ,f(ξ))上,从直观上看, 证明函数在ξ处取
admin
2016-01-05
21
问题
如下图所示,设0<a<b,函数f(x)在[a,b]上连续,在(a,b)可微且f(x)>0,f(a)=f(b).设l为绕原点O可转动的细棍(射线),放手后落在函数f(x)的图象上并支撑在点A(ξ,f(ξ))上,从直观上看,
证明函数
在ξ处取得最大值,并由此证明(*)式.
选项
答案
证明:函数f(x)在[a,b]上连续,(a,b)可微,b>a>0,则[*]在[a,b]上连续,在(a,b)可微.[*],令F’(x)=0,则F(x)在(a,b)存在极值点,满足f’(x)x一f(x)=0,又因为l是f(x)的切线,切点为A(ξ,f(ξ)),故l:y一f(ξ)=f’(ξ)(x—ξ).而l过点(0,0),即0一f(ξ)=f’(ξ)(一ξ),f’(ξ)ξ一f(ξ)=0,满足f’(x)x一f(x)=0,即为x=ξ∈(a,b)是函数F(x)的极值点,且[*].又在(a,b)内,f(a)=f(b)=0,且f(x)>0,则F(a)=F(b)=0,且F(ξ)>F(a)=F(b),所以函数[*]在ξ处取得最大值.
解析
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数学学科知识与教学能力
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