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设x∈(0,1),证明: (Ⅰ)(1+x)ln2(1+x)<x2;
设x∈(0,1),证明: (Ⅰ)(1+x)ln2(1+x)<x2;
admin
2018-04-14
59
问题
设x∈(0,1),证明:
(Ⅰ)(1+x)ln
2
(1+x)<x
2
;
选项
答案
(Ⅰ)令φ(x)=x
2
-(1+x)ln
2
(1+x),则 φ’(x)=2x-ln
2
(1+x)-2ln(1+x), φ"(x)=[*][x-ln(1+x)], φ"’(x)=[*]>0(0<x<1), [*]φ"(x)在(0,1)内单调递增,φ"(x)>φ"(0)=0(0<x<1), [*]φ’(x)在(0,1)内单调递增,φ’(x)>φ’(0)=0(0<x<1), [*]φ(x)在(0,1)内单调递增,φ(x)>φ(0)=0(0<x<1), 即(1+x)ln
2
(1+x)<x
2
。 [*] 由(Ⅰ),f’(x)<0(0<x<1)[*]f(x)在(0,1)单调减[*]f(1)<f(x)<f(0+)(0<x<1),而f(1)=[*]-1,且 [*]
解析
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考研数学二
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