2. 考研
  3. 设x∈(0，1)，证明： (Ⅰ)(1+x)ln2(1+x)＜x2；

设x∈(0，1)，证明： (Ⅰ)(1+x)ln2(1+x)＜x2；

admin2018-04-14  25
问题 设x∈(0，1)，证明：
(Ⅰ)(1+x)ln2(1+x)＜x2；
选项
答案(Ⅰ)令φ(x)=x2－(1+x)ln2(1+x)，则 φ’(x)=2x－ln2(1+x)－2ln(1+x)， φ"(x)=[*][x－ln(1+x)]， φ"’(x)=[*]＞0(0＜x＜1)， [*]φ"(x)在(0，1)内单调递增，φ"(x)＞φ"(0)=0(0＜x＜1)， [*]φ’(x)在(0，1)内单调递增，φ’(x)＞φ’(0)=0(0＜x＜1)， [*]φ(x)在(0，1)内单调递增，φ(x)＞φ(0)=0(0＜x＜1)， 即(1+x)ln2(1+x)＜x2。 [*] 由(Ⅰ)，f’(x)＜0(0＜x＜1)[*]f(x)在(0，1)单调减[*]f(1)＜f(x)＜f(0+)(0＜x＜1)，而f(1)=[*]－1，且 [*]
解析
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考研数学二

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