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设f(x)连续,且F(x)=∫0x(x一2t)f(t)dt.证明: 若f(x)单调不增,则F(x)单调不减.
设f(x)连续,且F(x)=∫0x(x一2t)f(t)dt.证明: 若f(x)单调不增,则F(x)单调不减.
admin
2016-09-30
44
问题
设f(x)连续,且F(x)=∫
0
x
(x一2t)f(t)dt.证明:
若f(x)单调不增,则F(x)单调不减.
选项
答案
F(x)=∫
0
x
(x一2t)f(t)dt=x∫
0
x
f(t)dt一2∫
0
x
tf(t)dt, F’(x)=∫
0
x
f(t)dt一xf(x)一x[f(ξ)一f(x)],其中ξ介于0与x之间, 当x<0时,x≤ξ≤0,因为f(x)单调不增,所以F’(x)≥0, 当x≥0时,0≤ξ≤x,因为f(x)单调不增,所以F’(x)≥0, 从而F(x)单调不减.
解析
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0
考研数学三
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