设f(x)，g(x)在[a，b]上连续．证明：至少存在一点ξ∈(a，b)，使得f(ξ)∫ξbg(x)dx=g(ξ)∫aξf(x)dx．

admin2018-09-20 82

问题设f(x)，g(x)在[a，b]上连续．证明：至少存在一点ξ∈(a，b)，使得f(ξ)∫_ξ^bg(x)dx=g(ξ)∫_a^ξf(x)dx．

选项

答案记G(x)=f(x)∫_x^bg(t)dt-g(x)∫_a^xf(t)dt，则G(x)的原函数为 F(x)=∫_a^xf(t)dt∫_x^bg(t)dt+C，其中C为任意常数．因为f(x)，g(x)在[a，b]上连续，所以F(x)在[a，b]上连续，在(a，b)内可导，F(a)=F(b)=C，即F(x)在[a，b]上满足罗尔定理，所以，至少存在一个ξ∈(a，b)，使得F’(ξ)=0，即 f(ξ)∫_ξ^bg(x)dx=g(ξ)∫_a^ξf(x)dx．

解析

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考研数学三

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