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A=，求作一个3阶可逆矩阵P，使得PTAP是对角矩阵．
A=，求作一个3阶可逆矩阵P，使得PTAP是对角矩阵．
admin
2018-08-12
47
问题
A=
，求作一个3阶可逆矩阵P，使得P
T
AP是对角矩阵．
选项
答案
对这样的题，可能会想到构造正交矩阵Q，使得Q
-1
AQ是对角矩阵，则Q
T
AQ=Q
-1
AQ是对角矩阵．这样做首先会遇到特征值计算的困难，如本题中的矩阵用本课程的知识是不能求出特征值的．即使可以求出，这个方法的计算量也比较大．一个比较简单的方法是利用与A对应的二次型用配方法标准化，则变换矩阵就是所求． f(x
1
，x
2
，x
3
)=X
T
AX=x
1
2
+4x
2
2
-2x
3
2
-4x
1
x
2
+4x
2
x
3
=(x
1
-2x
2
)
2
-2x
3
+4x
2
x
3
=(x
1
-x
2
)
2
-2(x
2
-x
3
)
2
+2x
2
2
． 令 [*] 原二次型化为f(x
1
，x
2
，x
3
)=y
1
2
-2y
2
2
+2y
3
2
． 从上面的公式反解得变换公式： [*] 变换矩阵 [*] 则P
T
AP=[*].
解析
转载请注明原文地址:https://kaotiyun.com/show/UQj4777K
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