2. 考研
  3. A=，求作一个3阶可逆矩阵P，使得PTAP是对角矩阵．

A=，求作一个3阶可逆矩阵P，使得PTAP是对角矩阵．

admin2018-08-12  42
问题 A=，求作一个3阶可逆矩阵P，使得PTAP是对角矩阵．
选项
答案对这样的题，可能会想到构造正交矩阵Q，使得Q-1AQ是对角矩阵，则QTAQ=Q-1AQ是对角矩阵．这样做首先会遇到特征值计算的困难，如本题中的矩阵用本课程的知识是不能求出特征值的．即使可以求出，这个方法的计算量也比较大．一个比较简单的方法是利用与A对应的二次型用配方法标准化，则变换矩阵就是所求． f(x1，x2，x3)=XTAX=x12+4x22-2x32-4x1x2+4x2x3=(x1-2x2)2-2x3+4x2x3=(x1-x2)2-2(x2-x3)2+2x22． 令 [*] 原二次型化为f(x1，x2，x3)=y12-2y22+2y32． 从上面的公式反解得变换公式： [*] 变换矩阵 [*] 则PTAP=[*].
解析
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考研数学二

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