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设二次型f(x1,x2,x3)在正交变换x=Py下的标准形为2y12+y22一y32,其中P=(e1,e3,e3)。若Q一(e1,-e3,e3),则f(x1,x2,x3)在正交变换x=Qy下的标准形为
设二次型f(x1,x2,x3)在正交变换x=Py下的标准形为2y12+y22一y32,其中P=(e1,e3,e3)。若Q一(e1,-e3,e3),则f(x1,x2,x3)在正交变换x=Qy下的标准形为
admin
2015-09-14
34
问题
设二次型f(x
1
,x
2
,x
3
)在正交变换x=Py下的标准形为2y
1
2
+y
2
2
一y
3
2
,其中P=(e
1
,e
3
,e
3
)。若Q一(e
1
,-e
3
,e
3
),则f(x
1
,x
2
,x
3
)在正交变换x=Qy下的标准形为
选项
A、2y
1
2
一y
2
2
+y
3
2
B、2y
1
2
+y
2
2
一y
3
2
C、2y
1
2
一y
2
2
一y
3
2
D、2y
1
2
+y
2
2
+y
3
2
答案
A
解析
本题考查用正交变换化二次型成标准形的问题,这本质上是实对称矩阵的正交相似对角化问题,计算上主要是求n阶实对称矩阵的n个两两正交的单位特征向量。
设二次型的矩阵为A,则由题意知矩阵P的列向量e
1
,e
2
,e
3
是矩阵A的标准正交的特征向量,对应的特征值依次是2,1,一1.即有
Ae
1
=2e
1
,Ae
2
=2e
2
,Ae
3
=2e
3
从而有
AQ=A(e
1
,一e
3
,e
2
)=(Ae
1
,一Ae
3
,Ae
2
)=(2e
1
,一(一e
3
),e
2
)
矩阵Q的列向量e
1
,一e
3
,e
2
仍是A的标准正交的特征向量,对应的特征值依次是2,一1,1.矩阵Q是正交矩阵,有Q
-1
=Q
T
,上式两端左乘Q
-1
,得
从而知,在正交变换x=Py下的标准形为f=2y
1
2
一y
2
2
+y
3
2
。于是选(A)。
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考研数学三
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