设f(x)在[0，1]上连续，且∫01 f(x)dx=0，∫01 xf(x)dx=1，证明：存在x2∈[0，1]使得|f(x2)|=4．

admin2015-07-22 37

问题设f(x)在[0，1]上连续，且∫₀¹ f(x)dx=0，∫₀¹ xf(x)dx=1，证明：
存在x₂∈[0，1]使得|f(x₂)|=4．

选项

答案若对一切x∈[0，1]均有|f(x)|＞4．由连续性知，要么一切x∈[0，1]均有f(x)＞4，要么f(x)＜一4．均与∫₀¹f(x)dx=0不符．故知至少存在一点x₀∈[0，1]使|f(x₃)|＜4，从而知存在 x₂∈[0，1]使|f(x₂)|=4．

解析利用条件可知∫₀¹(x-k)f(x)dx=1．取适当的k使∫₀¹|x—k|dx尽可能小，从而可估出

大于某值．

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考研数学三

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