求由曲线y＝2x－x2，y＝x所围成的平面图形的面积S．并求此平面图形绕x轴旋转一周所得旋转体的体积Vx．

admin2022-06-21 17

问题求由曲线y＝2x－x²，y＝x所围成的平面图形的面积S．并求此平面图形绕x轴旋转一周所得旋转体的体积V_x．

选项

答案本题考查的知识点为定积分的几何应用：利用定积分表示平面图形的面积；利用定积分求绕坐标轴旋转而成旋转体体积．所给平面图形如图中阴影部分所示．由 [*] 可解得 [*] 因此 S＝∫₀¹(2x－x²－x)dx＝∫₀¹(x－x²)dx ＝(x²／2－x³／3)｜₀¹＝1／6． V_x＝π∫₀¹[(2x－x²)²－x²]dx ＝π∫₀¹(3x²－4x³＋x⁴)dx＝π／5． [*]

解析

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