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  3. 设A为n阶非零矩阵，且存在自然数k，使得Ak＝O．证明：A不可以对角化．

设A为n阶非零矩阵，且存在自然数k，使得Ak＝O．证明：A不可以对角化．

admin2023-02-21  21
问题 设A为n阶非零矩阵，且存在自然数k，使得Ak＝O．证明：A不可以对角化．
选项
答案方法一 令AX＝λX(X≠0)，则有AkX＝λkX，因为Ak＝O，所以λkX＝0，注意到X≠0，故λk＝0，从而λ＝0，即矩阵A只有特征值0(n重)． 因为r(OE－A)＝r(A)≥1．所以方程组(0E－A)X＝0的基础解系至多含n－1个线性无关的解向量，故矩阵A不可对角化． 方法二 设矩阵A可以对角化，即存在可逆阵P，使得 [*] 从而有λ1＝λ2＝…＝λn＝0， 于是P－1AP＝O，进一步得A＝O，与已知矛盾，所以矩阵A不可以对角化．
解析
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考研数学一

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