设A为n阶非零矩阵，且存在自然数k，使得Ak＝O．证明：A不可以对角化．

admin2023-02-21 46

问题设A为n阶非零矩阵，且存在自然数k，使得A^k＝O．证明：A不可以对角化．

选项

答案方法一令AX＝λX(X≠0)，则有A^kX＝λ^kX，因为A^k＝O，所以λ^kX＝0，注意到X≠0，故λ^k＝0，从而λ＝0，即矩阵A只有特征值0(n重)．因为r(OE－A)＝r(A)≥1．所以方程组(0E－A)X＝0的基础解系至多含n－1个线性无关的解向量，故矩阵A不可对角化．方法二设矩阵A可以对角化，即存在可逆阵P，使得 [*] 从而有λ₁＝λ₂＝…＝λ_n＝0，于是P^－1AP＝O，进一步得A＝O，与已知矛盾，所以矩阵A不可以对角化．

解析

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考研数学一

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