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(18年)已知常数k≥ln2—1.证明:(x一1)(x—ln2x+2klnx一1)≥0.
(18年)已知常数k≥ln2—1.证明:(x一1)(x—ln2x+2klnx一1)≥0.
admin
2018-07-27
55
问题
(18年)已知常数k≥ln2—1.证明:(x一1)(x—ln
2
x+2klnx一1)≥0.
选项
答案
设f(x)=x-ln
2
x+2klnx一1.只需证明:当0<x<<1时,f(x)<0;当x>1时,f(x)>0. [*] 设g(x)=x一2lnx+2k,则g’(x)=[*] 令g’(x)=0.得g(x)的唯一驻点x=2. 又g’(x)=[*]>0,故x=2为g(x)的唯一极小值点.于是g(2)为g(x)的最小值. 因为k≥ln2—1.所以g(2)=2—2ln2+2k≥0,从而g(x)>0(x≠2). 综上可知f’(x)>0(x≠2).所以f(x)单调增加. 又f(1)=0.故当0<x<1时f(x)<0.当x>1时,f(x)>0。
解析
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考研数学二
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