(18年)已知常数k≥ln2—1．证明：(x一1)(x—ln2x+2klnx一1)≥0．

admin2018-07-27 39

问题 (18年)已知常数k≥ln2—1．证明：(x一1)(x—ln²x+2klnx一1)≥0．

选项

答案设f(x)=x-ln²x+2klnx一1．只需证明：当0＜x＜<1时，f(x)＜0；当x＞1时，f(x)＞0． [*] 设g(x)=x一2lnx+2k，则g’(x)=[*] 令g’(x)=0．得g(x)的唯一驻点x=2．又g’(x)=[*]＞0，故x=2为g(x)的唯一极小值点．于是g(2)为g(x)的最小值．因为k≥ln2—1．所以g(2)=2—2ln2+2k≥0，从而g(x)＞0(x≠2)．综上可知f’(x)＞0(x≠2)．所以f(x)单调增加．又f(1)=0．故当0＜x＜1时f(x)＜0．当x＞1时，f(x)＞0。

解析

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考研数学二

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设f(x)在[a，b]上存在一阶导数，且｜f’(x)｜≤M，证明：当x∈[a，b]时，
利用参数方程的求导得切线斜率．[*]
在上半平面上求一条上凹曲线，其上任一点P(x，y)处的曲率等于此曲线在该点的法线段PQ的长度的倒数(Q为法线与x轴的交点)，且曲线在点(1，1)处的切线与z轴平行．
设曲线L1与L2皆过点(1，1)，曲线L1在点(x，y)处纵坐标与横坐标之商的变化率为2，曲线L2在点(x，y)处纵坐标与横坐标之积的变化率为2，求两曲线所围成区域的面积．

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