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  3. 假设随机变量X和Y独立同分布． P{X=0}=P{Y=0}=1－p，P{X=1}=P{Y=1)=p．随机变量 问p取何值时，X和Z独立?这时X,Y,Z是否相互独立?

假设随机变量X和Y独立同分布． P{X=0}=P{Y=0}=1－p，P{X=1}=P{Y=1)=p．随机变量 问p取何值时，X和Z独立?这时X,Y,Z是否相互独立?

admin2017-06-12  55
问题 假设随机变量X和Y独立同分布． P{X=0}=P{Y=0}=1－p，P{X=1}=P{Y=1)=p．随机变量

问p取何值时，X和Z独立?这时X,Y,Z是否相互独立?
选项
答案易得X+Y服从二项分布B(2，p)，于是 P(Z=0)=P(X+Y=1)=2p(1－p)， P(Z=1)=P(X+Y=0)+P(X+Y=2) =(1－p)2+P2 =1－2p+2p2． 若X与Z独立，则 P(X=0，Z=0)=P(X=0)P(Z=0)， 其中 P(X=0，Z=0)=P(X=0，X+Y=1) =P(X=0，Y=1) =P(X=0)P(y=1) =(1－P)P． 因此 (1－P)P=(1－p)．2p(1－p)， 即[*] P(X=i，Z=j)=P(X=i)P(Z=j)，i，j=0，1，故X与 Z独立． 又因为P(X=0，Y=0，Z=0)=P(X=0，Y=0，X+Y=1)=0， P(X=0)P(Y=0)P(Z=0)≠0， 所以[*]时，X，Y，Z并不相互独立．
解析
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考研数学一

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