2. 考研
  3. 设二次型f(x1，x2，x3)=XTAX=ax12+2x22+-2x32+2bx1x3(b＞0)，其中二次矩阵A的特征值之和为1，特征值之积为-12． (Ⅰ)求a，b的值； (Ⅱ)利用正交变换将二次型f化为标准形，并写出所用的正交变换对应的正交矩阵．

设二次型f(x1，x2，x3)=XTAX=ax12+2x22+-2x32+2bx1x3(b＞0)，其中二次矩阵A的特征值之和为1，特征值之积为-12． (Ⅰ)求a，b的值； (Ⅱ)利用正交变换将二次型f化为标准形，并写出所用的正交变换对应的正交矩阵．

admin2013-10-11  60
问题 设二次型f(x1，x2，x3)=XTAX=ax12+2x22+-2x32+2bx1x3(b＞0)，其中二次矩阵A的特征值之和为1，特征值之积为-12．
(Ⅰ)求a，b的值；
(Ⅱ)利用正交变换将二次型f化为标准形，并写出所用的正交变换对应的正交矩阵．
选项
答案(Ⅰ)由题设，二次型f相应的矩阵为A=[*] 设A的3个特征值为λ1，λ2，λ3，则由已知条件知λ1+λ2+λ1=1，λ1λ2λ1=-12； 利用"矩阵特征值之和：矩阵主对角线元素之和"及"特征值之积=矩阵行列式"两个关 系，得 a=1及[*]=2(-2-b2)=-12，可求出b=2，即a=1，b=2． (Ⅱ)由｜A-λE｜=0，即[*]=0，可求出A的特征值为 λ1=λ2=2，λ3=-3．不难求得对应于λ1=λ2=2的特征向量为[*] 对应于λ3=-3的特征向量为ξ3=[*]，对λ1，λ2，λ3正交规范化，得 [*] 令矩阵P=(ξ1，ξ3，ξ3)=[*] 则P为正交矩阵，在正交变换x=Py下，其中[*] 因此二次型的标准形为2y12+2y22-3y32．
解析
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考研数学三

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