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设α1，α2，…，αs是n维向量组，r(α1，α2，…，αs)＝r，则( )不正确．
设α1，α2，…，αs是n维向量组，r(α1，α2，…，αs)＝r，则( )不正确．
admin
2019-08-12
47
问题
设α
1
，α
2
，…，α
s
是n维向量组，r(α
1
，α
2
，…，α
s
)＝r，则( )不正确．
选项
A、如果r＝n，则任何n维向量都可用α
1
，α
2
，…，α
s
线性表示．
B、如果任何n维向量都可用α
1
，α
2
，…，α
s
线性表示，则r＝n．
C、如果r＝s，则任何n维向量都可用α
1
，α
2
，…，α
s
唯一线性表示．
D、如果r＜n，则存在n维向量不能用α
1
，α
2
，…，α
s
线性表示．
答案
C
解析
利用“用秩判断线性表示”的有关性质．
当r＝n时，任何n维向量添加进α
1
，α
2
，…，α
s
时，秩不可能增大，从而A正确．
如果B项的条件成立，则任何n维向量组β
1
，β
2
，…，β
t
都可用α
1
，α
2
，…，α
s
线性表示，从而r(β
1
，β
2
，…，β
t
)≤r(α
1
，α
2
，…，α
s
)．如果取β
1
，β
2
，…，β
n
是一个n阶可逆矩阵的列向量组，则得
n＝r(β
1
，β
2
，…，β
n
)≤r(α
1
，α
2
，…，α
s
)≤n，
从而r(α
1
，α
2
，…α
s
)＝n，B项正确．
D项是B项的逆否命题，也正确．
由排除法，得选项C不正确．
r＝s只能说明α
1
，α
2
，…，α
s
线性无关，如果r＜n，则用B项的逆否命题知道存在n维向量不可用α
1
，α
2
，…，α
s
线性表示，因此C不正确．
转载请注明原文地址:https://kaotiyun.com/show/VeN4777K
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考研数学二
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