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对于函数f(x),如果存在一点c,使得f(c)=c,则称c为f(x)的不动点. (1)作出一个定义域与值域均为[0,1]的连续函数的图形,并找出它的不动点; (2)利用介值定理证明:定义域为[0,1],值域包含于[0,1]的连续函数必定有不动点.
对于函数f(x),如果存在一点c,使得f(c)=c,则称c为f(x)的不动点. (1)作出一个定义域与值域均为[0,1]的连续函数的图形,并找出它的不动点; (2)利用介值定理证明:定义域为[0,1],值域包含于[0,1]的连续函数必定有不动点.
admin
2011-11-19
87
问题
对于函数f(x),如果存在一点c,使得f(c)=c,则称c为f(x)的不动点.
(1)作出一个定义域与值域均为[0,1]的连续函数的图形,并找出它的不动点;
(2)利用介值定理证明:定义域为[0,1],值域包含于[0,1]的连续函数必定有不动点.
选项
答案
(1)令f(x)=1-x∈[0,1],则函数f(x)连续,且值域为[0,1],其图形如图3所示,则由f(x)=1-x与f(x)=x的交点,或1-x=x可得f(x)=1-x的不动点为x=1/2 (2)设f(x)在[0,1]上连续,值域[a,b]∈[0,1],证存在一点c∈[0,1],使得f(c)=c,令F(x)=f(x)-x,则F(x)在[0,1]上连续且F(0)=f(0)≥a≥0,F(1)=F(1)-1≤b-1≤0. 若F(0)=0或F(1)=0,则相应的x=0或x=1即为所求的不动点; 若F(0)≠0且F(1)≠0,则必F(0)F(1)<0,由零点定理可知存在一点f∈(0,1),使得 F(c)=0,即f(c)=c,所以定义域为[0,1],值域包含于[0,1]的连续函数必有不动点. [*]
解析
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考研数学三
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